1. sumk=1^infty (2 k+1)!2 k! x^2 k

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a soma da série de potências
sumk=1^infty (2k+1)!(2k)!,x^2k
O conteúdo principal aqui é manipular séries geométricas e suas derivadas. Para isso, vamos usar as somas conhecidas
sumk=1^inftyr^k=r1-r e sumk=1^inftyk,r^k=r(1-r)^2,
válidas para |r|<1.

Passo 2

Observe que
(2k+1)!(2k)!=2k+1,
logo a série vira
sumk=1^infty(2k+1),x^2k =sumk=1^infty2k,x^2k+sumk=1^inftyx^2k

Passo 3

Definindo r=x^2, calculamos as duas séries separadamente:
Para sumk=1^inftyx^2k=sumk=1^inftyr^k, temos
sumk=1^inftyx^2k =r1-r =x^21-x^2
Para sumk=1^infty2k,x^2k=2sumk=1^inftyk,r^k, obtemos
2sumk=1^inftyk,r^k =2cdotr(1-r)^2 =2x^2(1-x^2)^2

Passo 4

Somando as duas partes,
sumk=1^infty(2k+1),x^2k =2x^2(1-x^2)^2+x^21-x^2 =2x^2 + x^2(1-x^2)(1-x^2)^2 =x^2l(3 - x^2r)(1-x^2)^2

Resposta

sumk=1^infty(2k+1)!(2k)!,x^2k =x^2,(3-x^2)(1-x^2)^2, |x|<1

Exercícios relacionados