Se sumn=1^infty an for divergente e c neq 0, mostre que sumn=1^infty c an é divergente.

Passo 1

Temos uma série infinita sumn=1^inftyan que é divergente e um escalar cneq0. Vamos usar conceitos de séries numéricas e propriedades de somas parciais para mostrar que sumn=1^inftyc,an também diverge.

Passo 2

Lembrando que uma série sum an converge se a sequência de suas somas parciais SN=sumn=1^Nan tende a um limite finito quando Ntoinfty; caso contrário, dizemos que diverge.

Passo 3

Definimos as somas parciais da série original e da série escalada por c:
SN = sumn=1^Nan,
TN = sumn=1^Nc,an
Note que pela linearidade da soma temos
TN = csumn=1^Nan = c,SN

Passo 4

Suponha, por absurdo, que sumn=1^inftyc,an convergisse. Então a sequência (TN) teria limite finito, digamos limNtoinftyTN=L. Como cneq0, podemos escrever:
SN = 1c,TN
Pelo Teorema do Limite do Quociente (ou pela continuidade da multiplicação por constante), teríamos
limNtoinftySN = 1climNtoinftyTN = Lc,
ou seja, sumn=1^inftyan convergiria, o que contraria a hipótese de divergência.

Passo 5

Portanto, nossa suposição foi falsa e sumn=1^inftyc,an não pode convergir. Concluímos que sumn=1^inftyc,an é divergente.

Resposta

A série sumn=1^inftyc,an diverge.

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