Se
for divergente e
, mostre que
é divergente.
Passo 1
Temos uma série infinita
que é divergente e um escalar
. Vamos usar conceitos de séries numéricas e propriedades de somas parciais para mostrar que
também diverge.
Passo 2
Lembrando que uma série
converge se a sequência de suas somas parciais
tende a um limite finito quando
; caso contrário, dizemos que diverge.
Passo 3
Definimos as somas parciais da série original e da série escalada por
:
Note que pela linearidade da soma temos
Passo 4
Suponha, por absurdo, que
convergisse. Então a sequência
teria limite finito, digamos
. Como
, podemos escrever:
Pelo Teorema do Limite do Quociente (ou pela continuidade da multiplicação por constante), teríamos
ou seja,
convergiria, o que contraria a hipótese de divergência.
Passo 5
Portanto, nossa suposição foi falsa e
não pode convergir. Concluímos que
é divergente.
Resposta
A série
diverge.