Se
e
forem ambas divergentes,
é necessariamente divergente?
Passo 1
O enunciado pergunta se, tendo duas séries
e
divergentes, a série
precisa divergir. O conteúdo é séries numéricas e vamos usar a linearidade das somas de séries e a ideia de divergência por não haver soma finita das parcelas.
Passo 2
Lembrando que, mesmo que
e
não tenham soma finita, suas divergências podem “cancelar” se somarmos termo a termo. A propriedade de linearidade permite escrever a soma parcial de
como soma das parciais de
e
.
Para construir um contraexemplo simples, escolhemos e
para todo
. Então, as séries individuais são
Para construir um contraexemplo simples, escolhemos
Passo 3
porém a soma termo a termo é
então
e essa série converge (até trivialmente). Isso mostra que a soma de séries divergentes pode convergir.
Resposta
Não. Existem séries divergentes cuja soma termo a termo converge, por exemplo com
e
, onde
e
divergem, mas
converge.