Se sumn=1^infty an e sumn=1^infty bn forem ambas divergentes, sumn=1^infty(an+bn) é necessariamente divergente?

Passo 1

O enunciado pergunta se, tendo duas séries sum an e sum bn divergentes, a série sum(an+bn) precisa divergir. O conteúdo é séries numéricas e vamos usar a linearidade das somas de séries e a ideia de divergência por não haver soma finita das parcelas.

Passo 2

Lembrando que, mesmo que sum an e sum bn não tenham soma finita, suas divergências podem “cancelar” se somarmos termo a termo. A propriedade de linearidade permite escrever a soma parcial de an+bn como soma das parciais de an e bn.
Para construir um contraexemplo simples, escolhemos an=1 e bn=-1 para todo n. Então, as séries individuais são
sumn=1^N an = sumn=1^N 1 = N to +infty,
sumn=1^N bn = sumn=1^N (-1) = -N to -infty,

Passo 3

porém a soma termo a termo é
an + bn = 1 + (-1) = 0,
então
sumn=1^N (an+bn) = sumn=1^N 0 = 0 para todo N,
e essa série converge (até trivialmente). Isso mostra que a soma de séries divergentes pode convergir.

Resposta

Não. Existem séries divergentes cuja soma termo a termo converge, por exemplo com an=1 e bn=-1, onde sum an e sum bn divergem, mas sum(an+bn)=0 converge.

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