Use somas de séries geométricas para escrever os seguintes números como uma razão de números inteiros.
Passo 1
O enunciado pede converter o número decimal periódico em uma razão de números inteiros, usando somas de séries geométricas. Este conteúdo envolve conversão de decimal periódico em fração, separando a parte não periódica da parte periódica.
Passo 2
Seja x = 2,317. Podemos decompor:
x = 2 + 0,3 + R
onde 0,3 = 310 é a parte não periódica e R é a parte periódica 0,0171717ldots.
Passo 3
A parte periódica R inicia na segunda casa decimal, com o bloco “17” repetindo-se a cada duas casas. Logo podemos escrever:
R = sumk=1^infty 1710^2k+1
Isto é uma série geométrica de primeiro termo
a = 1710^3
e razão
r = 110^2
Passo 4
Aplicando a fórmula da soma de uma série geométrica sumk=0^infty a,r^k = a1-r, mas aqui começamos em k=1, então:
R = 1710^31 - 110^2 = 17100099100 = 17990
Passo 5
Somando a parte não periódica e a periódica na fração: