Use somas de séries geométricas para escrever os seguintes números como uma razão de números inteiros.
2,3 17=2,3171717 ldots

Passo 1

O enunciado pede converter o número decimal periódico 2,317 em uma razão de números inteiros, usando somas de séries geométricas. Este conteúdo envolve conversão de decimal periódico em fração, separando a parte não periódica da parte periódica.

Passo 2

Seja x = 2,317. Podemos decompor:
x = 2 + 0,3 + R
onde 0,3 = 310 é a parte não periódica e R é a parte periódica 0,0171717ldots.

Passo 3

A parte periódica R inicia na segunda casa decimal, com o bloco “17” repetindo-se a cada duas casas. Logo podemos escrever:
R = sumk=1^infty 1710^2k+1
Isto é uma série geométrica de primeiro termo
a = 1710^3
e razão
r = 110^2

Passo 4

Aplicando a fórmula da soma de uma série geométrica sumk=0^infty a,r^k = a1-r, mas aqui começamos em k=1, então:
R = 1710^31 - 110^2 = 17100099100 = 17990

Passo 5

Somando a parte não periódica e a periódica na fração:
0,3 + R = 310 + 17990 = 297990 + 17990 = 314990 = 157495

Passo 6

Por fim, somamos a parte inteira:
x = 2 + 157495 = 2cdot495 + 157495 = 1147495 Verificamos que 1147495 está em sua forma irredutível.

Resposta

tfrac1147495

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