Se sumn=0^infty an z^n é a série de potências de z^2(4-z)^2 em torno de z0=0, determine o valor de a3.
b) 1 / 64

Passo 1

O exercício pede para encontrar o coeficiente a3 da série de potências sumn=0^inftyan z^n que representa a função f(z)=z^2(4-z)^2 em torno de z0=0. Vamos usar a expansão conhecida de 1/(1-w)^2.

Passo 2

Reescrevemos a função de modo a aplicar a série de potências de 1/(1-w)^2:
f(z)=z^2(4-z)^2=z^2cdot14^2cdot1l(1-tfracz4r)^2=z^216cdot1l(1-tfracz4r)^2

Passo 3

Sabendo que
1(1-w)^2=sumn=0^infty(n+1),w^n,
fazemos w=tfracz4 e obtemos
1l(1-tfracz4r)^2=sumn=0^infty(n+1)l(tfracz4r)^n

Passo 4

Multiplicando por z^2/16 e reescrevendo o índice:
f(z)=z^216sumn=0^infty(n+1)z^n4^n=sumn=0^infty(n+1)116cdot4^n,z^n+2

Passo 5

O termo z^3 ocorre quando n+2=3, isto é n=1. Logo
a3=(1+1)116cdot4^1=2164=132

Resposta

O valor de a3 é 132.

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