sumn=1^infty 2 cdot 4 cdot 6 cdots cdot(2 n)n!

Passo 1

O enunciado pede para determinar a soma da série infinita
sumn=1^infty2cdot4cdot6cdots(2n)n!
O conteúdo principal aqui é manipular produtos envolvendo fatoriais e reconhecer que tipo de série temos (no caso, série geométrica), para então aplicar um critério de convergência.

Passo 2

Vamos simplificar o produto 2cdot4cdot6cdots(2n). Note que cada fator pode ser escrito como 2k para k=1,2,dots,n. Logo,
2cdot4cdot6cdots(2n) =prodk=1^n(2k) =2^nprodk=1^nk =2^n,n!

Passo 3

Substituindo essa expressão no termo geral da série, obtemos
2cdot4cdot6cdots(2n)n! =2^n,n!n! =2^n
Assim a série vira
sumn=1^infty2^n,
que é uma série geométrica de razão ,r=2.

Passo 4

Sabemos que uma série geométrica sumn=1^inftyr^n converge somente se |r|<1. Como aqui r=2 satisfaz |2|>1, concluímos que a soma não se estabiliza em valor finito, mas cresce sem limite.

Resposta

A série diverge (tende a +infty).

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