Verifique o teorema de Green para ointgamma[(2 x^2+y) d x+(3 x^2-y^2) d y], onde gamma é a circunferência de centro na origem e raio 1 .

Passo 1

O enunciado pede para verificar o Teorema de Green para o campo F(x,y) = l(P(x,y),Q(x,y)r) com
P(x,y)=2x^2+y, Q(x,y)=3x^2-y^2
ao longo da curva gamma, que é a circunferência de centro na origem e raio 1.
Pelo Teorema de Green, devemos comparar
ointgammaP,dx + Q,dy com integral duplaDl(partial Qpartial x-partial Ppartial yr),dA,
onde D é o disco unitário.

Passo 2

Calculamos primeiro o integrando da dupla:
partial Qpartial x = partialpartial x(3x^2-y^2) =6x, partial Ppartial y = partialpartial y(2x^2+y) =1
Logo
partial Qpartial x-partial Ppartial y =6x-1
Agora integramos sobre o disco Dcolon x^2+y^2<=1. Pela simetria,
integral duplaD6x,dA =6integral duplaDx,dA =0
pois x é função ímpar em D. E
integral duplaD(-1),dA =-area(D) =-picdot1^2 =-pi
Portanto
integral duplaDl(6x-1r),dA =0+(-pi) =-pi

Passo 3

Agora calculamos a integral de linha diretamente. Parâmetros em gamma:
x=cos t, y=sin t, tin[0,2pi],
dx=-sin t,dt, dy=cos t,dt
Substituindo em P,dx+Q,dy:
P,dx =(2cos^2t+sin t)(-,sin t,dt), Q,dy =(3cos^2t-sin^2t)(cos t,dt)
Somando e integrando de 0 a 2pi, cada termo ímpar em t dá zero, restando apenas
integral0^2pi(-sin^2t),dt =-integral0^2pi1-cos(2t)2,dt =-l[t2-sin(2t)4r]0^2pi =-pi
Logo
ointgammaP,dx+Q,dy =-pi

Passo 4

Comparando os dois lados, ambos valem -pi. Portanto o Teorema de Green está verificado.

Resposta

ointgammal[(2x^2+y),dx+(3x^2-y^2),dyr] =-pi

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