Verifique o teorema de Green para
, onde
é a circunferência de centro na origem e raio 1 .
Passo 1
O enunciado pede para verificar o Teorema de Green para o campo
com
ao longo da curva
, que é a circunferência de centro na origem e raio
.
Pelo Teorema de Green, devemos comparar
Pelo Teorema de Green, devemos comparar
onde
é o disco unitário.
Passo 2
Calculamos primeiro o integrando da dupla:
Logo
Agora integramos sobre o disco
. Pela simetria,
pois
é função ímpar em
. E
Portanto
Passo 3
Agora calculamos a integral de linha diretamente. Parâmetros em
:
Substituindo em
:
Somando e integrando de
a
, cada termo ímpar em
dá zero, restando apenas
Logo
Passo 4
Comparando os dois lados, ambos valem
. Portanto o Teorema de Green está verificado.