Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos um exercício que envolve uma soma infinita da seguinte forma:
Esse exercício está relacionado a séries infinitas e fatoriais. Para resolver isso, vamos precisar entender como manipular fatoriais e simplificar expressões de séries.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar o denominador da fração. Sabemos que:
Então, ao elevar ao quadrado:
Agora, substituímos isso na expressão original:
Passo 3
Vamos dividir a fração em duas partes para facilitar:
Simplificando cada termo:
Passo 4
Agora, vamos observar que
. Isso nos ajuda a simplificar ainda mais:
Passo 5
Agora, vamos somar os termos da série:
Esse tipo de soma pode ser complicado de resolver diretamente, mas podemos calcular os primeiros termos para identificar um padrão.
Passo 6
Vamos calcular os primeiros termos da série para ter uma ideia:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
Observamos que os termos estão diminuindo rapidamente, indicando que a série converge.
Passo 7
Somando os termos calculados:
Como os termos seguintes são muito pequenos, podemos estimar que a soma total da série está próxima a
.
Resposta
A soma infinita é igual a
, ou seja,
.