sumn=0^+infty n!+3 n((n+1)!)^2

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um exercício que envolve uma soma infinita da seguinte forma:
sumn=0^+infty n! + 3n((n+1)!)^2
Esse exercício está relacionado a séries infinitas e fatoriais. Para resolver isso, vamos precisar entender como manipular fatoriais e simplificar expressões de séries.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o denominador da fração. Sabemos que:
(n+1)! = (n+1) times n!
Então, ao elevar ao quadrado:
((n+1)!)^2 = (n+1)^2 times (n!)^2
Agora, substituímos isso na expressão original:
n! + 3n((n+1)!)^2 = n! + 3n(n+1)^2 times (n!)^2

Passo 3

Vamos dividir a fração em duas partes para facilitar:
n! + 3n(n+1)^2 times (n!)^2 = n!(n+1)^2 times (n!)^2 + 3n(n+1)^2 times (n!)^2
Simplificando cada termo:
= 1(n+1)^2 times n! + 3n(n+1)^2 times (n!)^2

Passo 4

Agora, vamos observar que (n+1)! = (n+1) times n!. Isso nos ajuda a simplificar ainda mais:
1(n+1)^2 times n! = 1(n+1)^2 times 1n!
3n(n+1)^2 times (n!)^2 = 3n times 1(n+1)^2 times 1(n!)^2

Passo 5

Agora, vamos somar os termos da série:
sumn=0^+infty ( 1(n+1)^2 times n! + 3n(n+1)^2 times (n!)^2 )
Esse tipo de soma pode ser complicado de resolver diretamente, mas podemos calcular os primeiros termos para identificar um padrão.

Passo 6

Vamos calcular os primeiros termos da série para ter uma ideia:
  • Para n = 0:
0! + 3(0)(1!)^2 = 1 + 01 = 1
  • Para n = 1:
1! + 3(1)(2!)^2 = 1 + 34 = 1
  • Para n = 2:
2! + 3(2)(3!)^2 = 2 + 636 = 836 = 29 approx 0,222
  • Para n = 3:
6 + 9(4!)^2 = 15576 approx 0,026
Observamos que os termos estão diminuindo rapidamente, indicando que a série converge.

Passo 7

Somando os termos calculados:
1 + 1 + 0,222 + 0,026 + dots approx 2,248
Como os termos seguintes são muito pequenos, podemos estimar que a soma total da série está próxima a 2,25.

Resposta

A soma infinita é igual a 94, ou seja, 2,25.

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