Calcule a derivada de:
Passo 1
Beleza, vamos calcular a derivada da função $ f(x) = 5(x - 1)(x + 2)(x^{3} + 1) $. A matéria envolvida aqui é Cálculo Diferencial, especificamente a regra do produto para derivadas. Vamos precisar aplicar essa regra para encontrar a derivada dessa função que é o produto de três termos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar da regra do produto. A regra do produto nos diz como derivar o produto de duas funções. Mas aqui temos três funções multiplicadas, então vamos estender essa regra. Se temos $ f(x) = u(x) \cdot v(x) \cdot w(x) $, então a derivada $ f’(x) $ é:
Passo 3
Vamos identificar as três partes da nossa função:
Passo 4
Agora, precisamos encontrar as derivadas de cada uma dessas funções:
- Derivada de $ u(x) = 5 $:
Porque a derivada de uma constante é zero.
- Derivada de $ v(x) = (x - 1)(x + 2) $:
Vamos usar a regra do produto novamente para $ v(x) $. Seja:
Então:
- Derivada de $ w(x) = x^{3} + 1 $:
A derivada de $ x^{3} $ é $ 3x^{2} $ e a derivada de uma constante é zero.
Passo 5
Agora, aplicamos a regra do produto para três funções usando as derivadas encontradas:
Substituindo:
Passo 6
Simplificando os termos:
- O primeiro termo é zero, então podemos ignorar.
- O segundo termo:
- O terceiro termo:
Passo 7
Agora, colocamos tudo junto:
Resposta
A derivada da função é: