Calcule a derivada de:
f(x)=5(x-1)(x+2)(x^3+1)

Passo 1

Beleza, vamos calcular a derivada da função $ f(x) = 5(x - 1)(x + 2)(x^{3} + 1) $. A matéria envolvida aqui é Cálculo Diferencial, especificamente a regra do produto para derivadas. Vamos precisar aplicar essa regra para encontrar a derivada dessa função que é o produto de três termos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da regra do produto. A regra do produto nos diz como derivar o produto de duas funções. Mas aqui temos três funções multiplicadas, então vamos estender essa regra. Se temos $ f(x) = u(x) \cdot v(x) \cdot w(x) $, então a derivada $ f’(x) $ é:
f(x) = u(x) cdot v(x) cdot w(x)

Passo 3

Vamos identificar as três partes da nossa função:
u(x) = 5
v(x) = (x - 1)(x + 2)
w(x) = x^3 + 1

Passo 4

Agora, precisamos encontrar as derivadas de cada uma dessas funções:
  1. Derivada de $ u(x) = 5 $:
u(x) = 5
Porque a derivada de uma constante é zero.
  1. Derivada de $ v(x) = (x - 1)(x + 2) $:
    Vamos usar a regra do produto novamente para $ v(x) $. Seja:
u'(x) = 0
Então:
v(x) = (x - 1)(x + 2)
  1. Derivada de $ w(x) = x^{3} + 1 $:
v(x)
A derivada de $ x^{3} $ é $ 3x^{2} $ e a derivada de uma constante é zero.

Passo 5

Agora, aplicamos a regra do produto para três funções usando as derivadas encontradas:
f'(x) = u'(x) cdot v(x) cdot w(x) + u(x) cdot v'(x) cdot w(x) + u(x) cdot v(x) cdot w'(x)
Substituindo:
f'(x) = 0 cdot (x - 1)(x + 2) cdot (x^3 + 1) + 5 cdot (2x + 1) cdot (x^3 + 1) + 5 cdot (x - 1)(x + 2) cdot 3x^2

Passo 6

Simplificando os termos:
  1. O primeiro termo é zero, então podemos ignorar.
  2. O segundo termo:
5 cdot (2x + 1) cdot (x^3 + 1)
  1. O terceiro termo:
5 cdot 3x^2 cdot (x - 1)(x + 2) = 15x^2(x - 1)(x + 2)

Passo 7

Agora, colocamos tudo junto:
f'(x) = 5(2x + 1)(x^3 + 1) + 15x^2(x - 1)(x + 2)

Resposta

A derivada da função é:
f'(x) = 5(2x + 1)(x^3 + 1) + 15x^2(x - 1)(x + 2)

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