Se
é uma série convergente, com termos positivos, é verdade que
também converge?
10. Verifique que as séries abaixo atendem as hipóteses do Teste da Integral e, em seguida, decida sobre a convergência da série.
10. Verifique que as séries abaixo atendem as hipóteses do Teste da Integral e, em seguida, decida sobre a convergência da série.
Passo 1
O enunciado tem duas partes. Primeiro, dado que
converge com
, queremos saber se
também converge. Em seguida, o item 10 pede para verificar que certas séries (não listadas) satisfazem as hipóteses do Teste da Integral e decidir sua convergência. Vamos usar para a primeira parte o teste de comparação simples e para a segunda parte, em princípio, o Teste da Integral.
Passo 2
Para a série
note que, como
converge, temos
. Para
pequeno vale a desigualdade
Logo, para todo
suficientemente grande,
Passo 3
Como
converge e
é não negativa e majorada por
para
grande, pelo teste da comparação direta concluímos que
também converge.
Passo 4
No item 10 faltam as séries que deveriam ser analisadas pelo Teste da Integral. Sem a enunciação explícita das funções
correspondentes, não é possível verificar as hipóteses (positividade, decrescimento e continuidade) nem aplicar o teste para decidir convergência.
Resposta
- Sim. Como
para grande e converge, a série converge por comparação. - Impossível decidir: as séries do item 10 não foram fornecidas, logo não há como aplicar o Teste da Integral.