Se sumn=1^+infty an é uma série convergente, com termos positivos, é verdade que sumn=1^+infty sen(an) também converge?
10. Verifique que as séries abaixo atendem as hipóteses do Teste da Integral e, em seguida, decida sobre a convergência da série.

Passo 1

O enunciado tem duas partes. Primeiro, dado que sumn=1^inftyan converge com an>0, queremos saber se sumn=1^inftysin(an) também converge. Em seguida, o item 10 pede para verificar que certas séries (não listadas) satisfazem as hipóteses do Teste da Integral e decidir sua convergência. Vamos usar para a primeira parte o teste de comparação simples e para a segunda parte, em princípio, o Teste da Integral.

Passo 2

Para a série sumsin(an) note que, como sum an converge, temos limntoinftyan=0. Para x>=0 pequeno vale a desigualdade
sin(x)<= x
Logo, para todo n suficientemente grande,
sin(an)<= an

Passo 3

Como sum an converge e sin(an) é não negativa e majorada por an para n grande, pelo teste da comparação direta concluímos que
sumn=1^inftysin(an)
também converge.

Passo 4

No item 10 faltam as séries que deveriam ser analisadas pelo Teste da Integral. Sem a enunciação explícita das funções f(x) correspondentes, não é possível verificar as hipóteses (positividade, decrescimento e continuidade) nem aplicar o teste para decidir convergência.

Resposta

  1. Sim. Como sin(an)<= an para n grande e sum an converge, a série sumsin(an) converge por comparação.
  2. Impossível decidir: as séries do item 10 não foram fornecidas, logo não há como aplicar o Teste da Integral.

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