Uma empresa fabrica dois produtos A e B. O primeiro é vendido a 4,00 2,00 a unidade. A função custo mensal é , em que X e Y são respectivamente as quantidades produzidas de A e B .
a) Quais as quantidades X e Y que maximizam o lucro?
b) Qual o lucro máximo?
Passo 1
O enunciado fala de dois produtos A e B, vendidos respectivamente a e por unidade, com custo mensal
onde e são as quantidades produzidas de A e B.
Conteúdo usado: otimização de função de duas variáveis sem restrição, usando condições de primeiro e segundo ordem (gradiente e Hessiana).
Passo 2
Definimos a função lucro
Então
Passo 3
Calculamos as derivadas parciais e impomos zero para achar o ponto crítico:
Passo 4
Resolvendo o sistema
da primeira vem . Substituindo na segunda:
Logo
Passo 5
A Hessiana de é
cujo determinante é (-2)(-2)-1=3>0 e a entrada -2<0, logo H é definida negativa e o ponto é máximo.
O lucro máximo é