Uma empresa fabrica dois produtos A e B. O primeiro é vendido a R 4,00 a unidade e o segundo a R 2,00 a unidade. A função custo mensal é C(X, Y)=5+X^2+Y^2-XY, em que X e Y são respectivamente as quantidades produzidas de A e B .
a) Quais as quantidades X e Y que maximizam o lucro?
b) Qual o lucro máximo?

Passo 1

O enunciado fala de dois produtos A e B, vendidos respectivamente a R$4,00 e R$2,00 por unidade, com custo mensal
C(X,Y)=5 + X^2 + Y^2 - X Y,
onde X e Y são as quantidades produzidas de A e B.
Conteúdo usado: otimização de função de duas variáveis sem restrição, usando condições de primeiro e segundo ordem (gradiente e Hessiana).

Passo 2

Definimos a função lucro
pi(X,Y)=receita-custo =4X + 2Y - l(5 + X^2 + Y^2 - X Yr)
Então
pi(X,Y) = -X^2 - Y^2 + X Y + 4X + 2Y - 5

Passo 3

Calculamos as derivadas parciais e impomos zero para achar o ponto crítico:
partial pipartial X = -2X + Y + 4 = 0, partial pipartial Y = -2Y + X + 2 = 0

Passo 4

Resolvendo o sistema
-2X + Y = -4, X -2Y = -2,
da primeira vem Y=2X-4. Substituindo na segunda:
X - 2(2X-4) = -2 ;Longrightarrow; X -4X + 8 = -2 ;Longrightarrow; -3X = -10 ;Longrightarrow; X = tfrac103
Logo
Y = 2l(tfrac103r) - 4 = tfrac83

Passo 5

A Hessiana de pi é
H = partial^2pipartial X^2 & partial^2pipartial Xpartial Y[6pt] partial^2pipartial Ypartial X & partial^2pipartial Y^2 = -2 & 1 1 & -2 ,
cujo determinante é (-2)(-2)-1=3>0 e a entrada -2<0, logo H é definida negativa e o ponto é máximo.
O lucro máximo é
pil(tfrac103,tfrac83r) =4cdottfrac103+2cdottfrac83 -l[5+l(tfrac103r)^2+l(tfrac83r)^2-tfrac103cdottfrac83r] =tfrac133 ]

Resposta

As quantidades que maximizam o lucro são
X=tfrac103, Y=tfrac83,
e o lucro máximo vale tfrac133 (aprox.\ R$ 4,33).

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