Verifique se as funções abaixo são contínuas. Caso não sejam, justifique.
f(x)=ll-4 x^2+1, & se x<1 x-4, & se x >= 1

Passo 1

O enunciado define a função
f(x)= -4x^2+1, & x<1, x-4, & x>=1,
e pede para verificar se f é contínua. O conteúdo aqui é continuidade de funções definidas por partes, usando que polinômios são contínuos e checando o ponto de junção x=1.

Passo 2

Em cada ramo estritamente, g(x)=-4x^2+1 e h(x)=x-4 são polinômios, logo são contínuos em todo R. Assim, f é contínua em (-infty,1) e em (1,+infty) sem nenhuma questão.

Passo 3

O único possível problema é em x=1. Primeiro calculamos o limite pela esquerda:
limxto1^-f(x) =limxto1^-(-4x^2+1) =-4cdot1^2+1 =-3

Passo 4

Agora o limite pela direita:
limxto1^+f(x) =limxto1^+(x-4) =1-4 =-3

Passo 5

Finalmente, avaliamos o valor da função em x=1:
f(1)=1-4=-3

Passo 6

Como
limxto1^-f(x) =limxto1^+f(x) =f(1)=-3,
pela definição de continuidade em um ponto, f é contínua em x=1.

Resposta

A função f é contínua em todo R.

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