Uma firma produz dois bens substitutos, cujas equações de demanda são dadas por:
& X=500-2 Px+Py & Y=900+Px-3 Py
Em que X e Y são as quantidades produzidas, Px e Py são seus preços unitários, respectivamente. Se a função custo para fabricar esses bens for
C=10000+200 X+100 Y
Obtenha os valores de Px e Py que maximizam o Lucro.

Passo 1

O enunciado dá as curvas de demanda
X = 500 - 2Px + Py, Y = 900 + Px - 3Py
e a função custo
C = 10000 + 200,X + 100,Y
Queremos maximizar o lucro pi, isto é,
pi = Receita - Custo = PxX + PyY - C
Para resolver, precisamos expressar pi em função de Px e Py, derivar em relação a cada preço, igualar a zero (condições de primeira ordem) e verificar a condição de máximo.

Passo 2

Vamos montar a receita e o custo em termos de Px e Py.
A receita é
R = PxX + PyY = Pxl(500 - 2Px + Pyr) + Pyl(900 + Px - 3Pyr)
O custo, substituindo X e Y, é
C = 10000 +200l(500 - 2Px + Pyr) +100l(900 + Px - 3Pyr)

Passo 3

Agora calculamos pi = R - C e simplificamos.
Expansão de R:
R = 500Px -2Px^2 + PxPy +900Py + PxPy -3Py^2 = -2Px^2 + 2PxPy -3Py^2 + 500Px + 900Py
Expansão de C:
C = 10000 +100000 -400Px +200Py +90000 +100Px -300Py = 200000 -300Px -100Py
Logo
pi = R - C = l(-2Px^2 + 2PxPy -3Py^2 + 500Px +900Pyr) - l(200000 -300Px -100Pyr),
que simplifica para
pi = -2Px^2 + 2PxPy -3Py^2 +800Px +1000Py -200000

Passo 4

Para maximizar, impomos as condições de primeira ordem partialpi/partial Px=0 e partialpi/partial Py=0.
partialpipartial Px = -4Px + 2Py + 800 = 0, partialpipartial Py = 2Px -6Py +1000 = 0

Passo 5

Resolvendo o sistema
-4Px + 2Py +800 = 0, 2Px -6Py +1000 = 0,
dividimos a primeira por 2: -2Px+Py=-400Rightarrow Py=2Px-400.
Substituindo na segunda:
2Px -6(2Px-400) +1000 = 0 ;Longrightarrow; 2Px -12Px +2400 +1000 = 0 ;Longrightarrow; -10Px +3400 = 0 ;Longrightarrow; Px = 340
Então
Py = 2cdot340 - 400 = 280

Passo 6

Verificamos a matriz Hessiana de pi:
H = partial^2pipartial Px^2 & partial^2pipartial Pxpartial Py partial^2pipartial Pypartial Px & partial^2pipartial Py^2 = -4 & 2 2 & -6
Os menores principais são -4<0 e det H = (-4)(-6)-2^2=20>0, logo H é definida negativa, confirmando máximo.

Resposta

Px=340 Py=280

Exercícios relacionados