Uma superfície de um certo material metálico começa a emitir elétrons via efeito fotoelétrico quando a radiação incidente tem frequência \nu \geq 2,2 \times 10^{15} s^{-1}.
a) Determine a função trabalho do material, isto é, a energia mínima de um fóton que incide na superfície metálica para que um elétron seja ejetado.
b) Qual comprimento de onda de radiação correspondente a fótons com essa energia?
c) Se a superfície é irradiada com luz com comprimento de onda de 100 nm , qual seria a energia cinética máxima dos elétrons emitidos?

Passo 1

O enunciado pede três coisas claras:
a) Determinar a função trabalho do material: a energia mínima de um fóton que ejetará um elétron.
b) Calcular o comprimento de onda correspondente a essa energia mínima.
c) Se a superfície for irradiada com luz de comprimento de onda \lambda=100\\ \mathrm{nm}, encontrar a energia cinética máxima dos elétrons emitidos.
Dados fornecidos e constantes que vamos usar:
\nu_0 = 2{,}2\times 10^{15}\\ \mathrm{s^{-1}}
\lambda_{\text{inc}} = 100\\ \mathrm{nm} = 100\times 10^{-9}\\ \mathrm{m}
Constantes (valores padrão que usaremos):
h = 6{,}62607015\times 10^{-34}\\ \mathrm{J\;s}\quad\text{(constante de Planck)}
c = 2{,}99792458\times 10^{8}\\ \mathrm{m\;s^{-1}}\quad\text{(velocidade da luz)}
1\\ \mathrm{eV} = 1{,}602176634\times 10^{-19}\\ \mathrm{J}

Passo 2

Explicação do conceito-chave e fórmula usada (aula rápida e objetiva):
  • No efeito fotoelétrico, a energia de um fóton é dada por
E_{\text{fóton}} = h\nu,ó
onde \nu é a frequência do fóton e h é a constante de Planck. Aqui cada símbolo significa: E_{\text{fóton}}ó (energia do fóton em joules), h (constante de Planck em \mathrm{J\;s}), \nu (frequência em \mathrm{s^{-1}}).
  • A função trabalho \Phi (energia mínima para ejetar um elétron) corresponde ao fóton de frequência limiar \nu_0. Logo:
\Phi = h\nu_0.
Agora aplicamos a fórmula com os números dados.
Cálculo:
\Phi = h\nu_0 = \left(6{,}62607015\times 10^{-34}\right)\left(2{,}2\times 10^{15}\right)\\ \mathrm{J}.
Vamos multiplicar:
\Phi = 6{,}62607015\times 2{,}2 \times 10^{-34+15}\\ \mathrm{J} = 14{,}57735433 \times 10^{-19}\\ \mathrm{J} = 1{,}457735433\times 10^{-18}\\ \mathrm{J}.

Passo 3

Conversão da função trabalho para elétron-volts (para dar intuição física):
Usamos 1\\ \mathrm{eV} = 1{,}602176634\times 10^{-19}\\ \mathrm{J}. Então
\Phi_{\mathrm{(eV)}} = \frac{\Phi}{1{,}602176634\times 10^{-19}}= \frac{1{,}457735433\times 10^{-18}}{1{,}602176634\times 10^{-19}} \approx 9{,}10\\ \mathrm{eV}.
Explicação rápida: dividir a energia em joules pela carga-elementar em joules por eV dá o valor em eV.

Passo 4

Parte (b) — comprimento de onda correspondente à frequência limiar:
Relação entre comprimento de onda e frequência:
\lambda = \frac{c}{\nu}.
Aplicando com \nu=\nu_0:
\lambda_0 = \frac{c}{\nu_0} = \frac{2{,}99792458\times 10^{8}}{2{,}2\times 10^{15}}\\ \mathrm{m}.
Cálculo:
\lambda_0 = 1{,}36269299\times 10^{-7}\\ \mathrm{m} = 1{,}36269299\times 10^{-7}\\ \mathrm{m}.
Convertendo para nanômetros ( 1\\ \mathrm{nm}=10^{-9}\\ \mathrm{m}):
\lambda_0 = 136{,}3\\ \mathrm{nm}\\ (\text{aprox. }136\\ \mathrm{nm}).
Comentário didático: esse comprimento de onda é o limite acima do qual (maior comprimento) fótons não têm energia suficiente para arrancar elétrons.

Passo 5

Parte (c) — energia do fóton de \lambda=100\\ \mathrm{nm} e energia cinética máxima dos elétrons:
Fórmula para energia do fóton em termos de comprimento de onda:
E_{\text{fóton}} = \frac{hc}{\lambda}.ó
Aplicando com \lambda=100\\ \mathrm{nm}=1{,}00\times 10^{-7}\\ \mathrm{m}:
E_{\text{fóton}} = \frac{(6{,}62607015\times 10^{-34})(2{,}99792458\times 10^{8})}{1{,}00\times 10^{-7}}\\ \mathrm{J}.ó
Calcule o numerador (valor conhecido hc\approx 1{,}98644586\times 10^{-25}\\ \mathrm{J\;m}):
E_{\text{fóton}} = \frac{1{,}98644586\times 10^{-25}}{1{,}00\times 10^{-7}} = 1{,}98644586\times 10^{-18}\\ \mathrm{J}.ó

Passo 6

Energia cinética máxima \,K_{\max} é a diferença entre a energia do fóton incidente e a função trabalho:
K_{\max} = E_{\text{fóton}} - \Phi.ó
Substituindo os valores:
K_{\max} = 1{,}98644586\times 10^{-18} - 1{,}457735433\times 10^{-18} = 5{,}28710427\times 10^{-19}\\ \mathrm{J}.
Converter para eV:
K_{\max\;(\mathrm{eV})} = \frac{5{,}28710427\times 10^{-19}}{1{,}602176634\times 10^{-19}} \approx 3{,}30\\ \mathrm{eV}.
Comentário: como \lambda=100\\ \mathrm{nm} é menor que o comprimento de onda limiar \approx 136\\ \mathrm{nm}, os fótons têm energia sobrando para a energia cinética dos elétrons — por isso K_{\max}>0.

Resposta

(a) \Phi = 1{,}4577\times 10^{-18}\\ \mathrm{J} \approx 9{,}10\\ \mathrm{eV}
(b) \lambda_0 = 1{,}3627\times 10^{-7}\\ \mathrm{m} \approx 136\\ \mathrm{nm}
(c) K_{\max} = 5{,}2871\times 10^{-19}\\ \mathrm{J} \approx 3{,}30\\ \mathrm{eV}

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