Uma aproximação para as energias dos estados estacionários de átomos de número atômico
e um único elétron é dada por
Considere o átomo de lítio duplamente ionizado,
, que tem número atômico
.
a) Se o elétron neste átomo estiver no nível de energia
e realizar uma transição para o nível
, qual seria o valor aproximado da energia do fóton emitido? Considere que a energia cinética inicial e final do átomo como um todo podem ser desprezadas no processo de transição.
b) Calcule o comprimento de onda do fóton emitido na transição descrita no item a).
c) Se a transição fosse do nível
para o nível
o comprimento de onda do fóton emitido seria maior ou menor do que o do fóton emitido na transição do nível
para o nível
? Explique.
d) Calcule, aproximadamente, a energia de ionização do
, isto é, a energia mínima que deve ser transferida a esse átomo em seu estado fundamental (
) para que seu elétron seja separado do núcleo.
a) Se o elétron neste átomo estiver no nível de energia
b) Calcule o comprimento de onda do fóton emitido na transição descrita no item a).
c) Se a transição fosse do nível
d) Calcule, aproximadamente, a energia de ionização do
Passo 1
O enunciado dá uma fórmula aproximada para as energias dos níveis de um átomo com um único elétron:
Dados fornecidos e perguntas:
- Número atômico:
(átomo ). - Pergunta (a): elétron em
faz transição para . Qual é a energia do fóton emitido? (Desprezar energia cinética do átomo). - Pergunta (b): qual o comprimento de onda do fóton emitido no item (a)?
- Pergunta (c): se a transição fosse
para , o comprimento de onda do fóton seria maior ou menor que o da transição para ? Explique. - Pergunta (d): energia de ionização do
no estado fundamental ( ) — energia mínima para separar o elétron do núcleo.
Passo 2
Primeiro precisamos calcular os valores numéricos das energias dos níveis
usando a fórmula dada. Vou aplicar a fórmula passo a passo e explicar cada símbolo: na fórmula
,
é o número atômico,
é o número quântico principal do nível, e o fator
é a energia de ligação do elétron no átomo de hidrogênio no nível
. Para
temos
.
Calculemos:
Passo 3
Agora avalio numericamente cada expressão:
Explicação curta: sinais negativos indicam que o elétron está ligado ao núcleo; níveis com
maior têm energia menos negativa (mais perto de zero).
Passo 4
Para a transição de um nível inicial
para um nível final
(com
), a energia do fóton emitido é a diferença entre as energias:
Isto vem da conservação de energia: perda de energia do elétron vira energia do fóton. Note que
e
são negativos aqui, então faça a subtração cuidadosamente.
Passo 5
Aplicando para a transição
:
Portanto, a energia aproximada do fóton emitido na transição
é
.
Passo 6
Agora vamos relacionar energia do fóton com comprimento de onda. A relação é
onde
é a constante de Planck e
a velocidade da luz. Usar energia em joules daria comprimentos em metros. Para trabalhar em prática com
e obter
em nanômetros (
) existe uma constante útil:
Isso significa que, para energia em
,
Passo 7
Calculemos o comprimento de onda do fóton de energia
:
Arredondando de forma prática:
. Observação: esse comprimento está na faixa do ultravioleta extremo.
Passo 8
Para comparar com a transição
preciso da energia desse fóton. Uso a mesma fórmula de diferença:
Então a transição
libera muito mais energia que
(
contra
).
Passo 9
Relação energia × comprimento de onda: como
, energia maior significa comprimento de onda menor (inversamente proporcional). Portanto, o comprimento de onda do fóton emitido em
será menor do que o de
. (Se quiser comparar numericamente,
, bem menor que
.)
Passo 10
Finalmente, energia de ionização do
no estado fundamental (
) é a energia mínima necessária para levar o elétron de
até zero (elétron separado, energia de referência
). Assim
Isto é, precisa fornecer aproximadamente
para ionizar o
no estado fundamental.
Resposta
(a)
(b)
(c) Menor
(d)
(b)
(c) Menor
(d)