Uma aproximação para as energias dos estados estacionários de átomos de número atômico Z e um único elétron é dada por
E_{n} \approx-Z^{2} \times \frac{13,6}{n^{2}} \mathrm{eV} \quad(n \text { inteiro })
Considere o átomo de lítio duplamente ionizado, \mathrm{Li}^{2+}, que tem número atômico Z=3.
a) Se o elétron neste átomo estiver no nível de energia n=3 e realizar uma transição para o nível n=2, qual seria o valor aproximado da energia do fóton emitido? Considere que a energia cinética inicial e final do átomo como um todo podem ser desprezadas no processo de transição.
b) Calcule o comprimento de onda do fóton emitido na transição descrita no item a).
c) Se a transição fosse do nível n=3 para o nível n=1 o comprimento de onda do fóton emitido seria maior ou menor do que o do fóton emitido na transição do nível n=3 para o nível n=2 ? Explique.
d) Calcule, aproximadamente, a energia de ionização do \mathrm{Li}^{2+}, isto é, a energia mínima que deve ser transferida a esse átomo em seu estado fundamental ( n=1 ) para que seu elétron seja separado do núcleo.

Passo 1

O enunciado dá uma fórmula aproximada para as energias dos níveis de um átomo com um único elétron:
E_{n} \approx -Z^{2}\times\frac{13,6}{n^{2}}\\ \mathrm{eV}\quad(n\\ \text{inteiro})
Dados fornecidos e perguntas:
  • Número atômico: Z=3 (átomo \mathrm{Li}^{2+}).
  • Pergunta (a): elétron em n=3 faz transição para n=2. Qual é a energia do fóton emitido? (Desprezar energia cinética do átomo).
  • Pergunta (b): qual o comprimento de onda do fóton emitido no item (a)?
  • Pergunta (c): se a transição fosse n=3 para n=1, o comprimento de onda do fóton seria maior ou menor que o da transição n=3 para n=2? Explique.
  • Pergunta (d): energia de ionização do \mathrm{Li}^{2+} no estado fundamental ( n=1) — energia mínima para separar o elétron do núcleo.

Passo 2

Primeiro precisamos calcular os valores numéricos das energias dos níveis n=1,2,3 usando a fórmula dada. Vou aplicar a fórmula passo a passo e explicar cada símbolo: na fórmula \;E_{n}=-Z^{2}\times\frac{13,6}{n^{2}}\;\mathrm{eV}, \;Z\; é o número atômico, \;n\; é o número quântico principal do nível, e o fator 13,6\\ \mathrm{eV} é a energia de ligação do elétron no átomo de hidrogênio no nível n=1. Para \mathrm{Li}^{2+} temos Z=3.
Calculemos:
E_{1} = -3^{2}\times\frac{13,6}{1^{2}}\\ \mathrm{eV}
E_{2} = -3^{2}\times\frac{13,6}{2^{2}}\\ \mathrm{eV}
E_{3} = -3^{2}\times\frac{13,6}{3^{2}}\\ \mathrm{eV}

Passo 3

Agora avalio numericamente cada expressão:
E_{1} = -9\times 13,6 = -122,4\\ \mathrm{eV}
E_{2} = -9\times\frac{13,6}{4} = -9\times 3,4 = -30,6\\ \mathrm{eV}
E_{3} = -9\times\frac{13,6}{9} = -13,6\\ \mathrm{eV}
Explicação curta: sinais negativos indicam que o elétron está ligado ao núcleo; níveis com n maior têm energia menos negativa (mais perto de zero).

Passo 4

Para a transição de um nível inicial n_i para um nível final n_f (com n_i>n_f), a energia do fóton emitido é a diferença entre as energias:
E_{\text{fóton}} = E_{n_{i}} - E_{n_{f}}ó
Isto vem da conservação de energia: perda de energia do elétron vira energia do fóton. Note que E_{n_i} e E_{n_f} são negativos aqui, então faça a subtração cuidadosamente.

Passo 5

Aplicando para a transição n=3\to n=2:
E_{\text{fóton}} = E_{3}-E_{2} = (-13,6)-(-30,6) = -13,6+30,6 = 17,0\\ \mathrm{eV}.ó
Portanto, a energia aproximada do fóton emitido na transição n=3\to n=2 é \;17,0\\ \mathrm{eV}.

Passo 6

Agora vamos relacionar energia do fóton com comprimento de onda. A relação é
\lambda = \frac{hc}{E}
onde h é a constante de Planck e c a velocidade da luz. Usar energia em joules daria comprimentos em metros. Para trabalhar em prática com \mathrm{eV} e obter \lambda em nanômetros ( \mathrm{nm}) existe uma constante útil:
hc \approx 1240\\ \mathrm{eV\cdot nm}.
Isso significa que, para energia em \mathrm{eV},
\lambda(\mathrm{nm}) \approx \frac{1240}{E(\mathrm{eV})}.

Passo 7

Calculemos o comprimento de onda do fóton de energia \;17,0\\ \mathrm{eV}:
\lambda \approx \frac{1240}{17,0}\\ \mathrm{nm} \approx 72,94\\ \mathrm{nm}.
Arredondando de forma prática: \lambda \approx 72,9\\ \mathrm{nm}. Observação: esse comprimento está na faixa do ultravioleta extremo.

Passo 8

Para comparar com a transição n=3\to n=1 preciso da energia desse fóton. Uso a mesma fórmula de diferença:
E_{\text{fóton}}(3\to1)=E_{3}-E_{1}=(-13,6)-(-122,4)=108,8\\ \mathrm{eV}.ó
Então a transição 3\to1 libera muito mais energia que 3\to2 ( 108,8\\ \mathrm{eV} contra 17,0\\ \mathrm{eV}).

Passo 9

Relação energia × comprimento de onda: como \lambda = hc/E, energia maior significa comprimento de onda menor (inversamente proporcional). Portanto, o comprimento de onda do fóton emitido em 3\to1 será menor do que o de 3\to2. (Se quiser comparar numericamente, \lambda(3\to1)\approx 1240/108,8\\ \mathrm{nm}\approx 11,4\\ \mathrm{nm}, bem menor que 72,9\\ \mathrm{nm}.)

Passo 10

Finalmente, energia de ionização do \mathrm{Li}^{2+} no estado fundamental ( n=1) é a energia mínima necessária para levar o elétron de E_{1} até zero (elétron separado, energia de referência E=0). Assim
E_{\text{ionização}} = 0 - E_{1} = -E_{1} = 122,4\\ \mathrm{eV}.çã
Isto é, precisa fornecer aproximadamente \;122,4\\ \mathrm{eV} para ionizar o \mathrm{Li}^{2+} no estado fundamental.

Resposta

(a) 17,0\\ \mathrm{eV}
(b) \;72,9\\ \mathrm{nm}
(c) Menor
(d) 122,4\\ \mathrm{eV}

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