2- Considerando que a placa do problema acima seja feita de cobre
, com 5 cm de espessura e que a superfície perdeu 900 W por radiação, calcule a temperatura na face inferior da placa.
Passo 1
O que o enunciado nos dá:
- Condutividade térmica da placa:
. - Espessura da placa:
. - A superfície (presumivelmente a face superior) perdeu
por radiação.
O que o enunciado pede: - Calcular a temperatura na face inferior da placa.
Dados / informações que não foram fornecidos (e que são essenciais):
- A área da face radiativa,
(em ); sem não se transforma 900 W em fluxo por unidade de área. - A emissividade da superfície,
, e a temperatura do ambiente, , caso se queira relacionar a potência radiada com a temperatura da superfície via radiação. - Alternativamente, se já fosse conhecida a temperatura da face superior
, bastaria usá‑la para obter a face inferior. Nenhuma dessas quantidades foi fornecida.
Portanto, com os dados atuais NÃO há informação suficiente para obter um valor numérico definitivo da temperatura na face inferior.
Passo 2
Conceito físico e balanço de energia (explicação didática):
- Em regime estacionário e assumindo condução unidimensional na espessura, a potência que atravessa a placa por condução é a mesma potência que é perdida por radiação na face externa (se não há outras trocas de calor).
- A lei de Fourier (forma integral para uma parede plana com gradiente linear de temperatura) dá a potência conduzida:
onde:
-
é a potência conduzida (em W), -
é a condutividade térmica (em ), -
é a área da face (em ), -
é a temperatura na face superior (aquela que radia), em K, -
é a temperatura da face inferior (a que queremos), em K, -
é a espessura (em m).
Explicando em palavras: a diferença de temperatura entre as faces (
) é proporcional à potência que atravessa a placa; quanto maior
mais fácil é conduzir calor e menor será essa diferença para a mesma
.
Passo 3
Como obter
a partir da potência radiada (se a superfície radia para o ambiente):
- A potência radiada da superfície pode ser escrita por Stefan–Boltzmann (para radiação total entre superfície e ambiente):
onde:
-
é a emissividade da superfície (adimensional, ), -
é a constante de Stefan–Boltzmann, , -
é a temperatura do ambiente (em K).
Rearranjando para
:
Observação didática: para usar essa fórmula é preciso conhecer
,
e
. Sem esses dados não se obtém
.
Passo 4
União das equações para encontrar
:
- Uma vez conhecido
(obtido pela equação de radiação acima), a temperatura da face inferior vem de Fourier:
- Se, ao invés de
total, for dado o fluxo por unidade de área , a expressão fica mais simples:
Resumo prático do procedimento (passos a aplicar na prova, se tiver todos os dados):
- Usar
e resolver para . - Usar
para achar .
Passo 5
Exemplo numérico ilustrativo (apenas para mostrar o método e a ordem de grandeza) — assumir valores típicos para ver o efeito:
- Suponha (apenas como exemplo)
, (superfície negra) e ( ). Com :
Em seguida,
Comentário didático: note que, para cobre com
grande, a queda de temperatura através de
é pequena (aqui só
). Isso mostra que, frequentemente, o calor cedido por radiação determina praticamente a temperatura da superfície e a face oposta fica quase na mesma temperatura quando a condutividade é muito alta.
Passo 6
Conclusão e o que falta para resolver numericamente o problema pedido:
- Para obter a temperatura numérica da face inferior é obrigatório conhecer pelo menos uma das seguintes informações adicionais:
- A área
da face que está radiando e a emissividade e ; ou - A temperatura da face superior
diretamente; ou - O fluxo por unidade de área
.
- A área
Sem esses dados não é possível calcular um valor numérico definitivo para
.
Resposta
Não é possível determinar numericamente a temperatura da face inferior com os dados fornecidos. Faltam, no mínimo, a área
e a emissividade
e/ou a temperatura ambiente
(ou então a temperatura da face superior
).
(Se forem fornecidos esses dados, usar as fórmulas
e
para obter o valor numérico.)