Se R é a região de R^3 interior à esfera x^2+y^2+z^2=4 e acima do plano z=1, então
integral triplaR raizx^2+y^2+z^2 d V
é igual a
(A) 8 pi(2-raiz3)3.
(B) 2 pi.
(C) 4 pi.
(D) 4 pi(2-raiz3).
(E) 2 pi(2-raiz3).
(F) outro valor.

Passo 1

O enunciado pede o valor de
integral triplaRraizx^2+y^2+z^2,dV
onde R é a região em R^3 interior à esfera x^2+y^2+z^2=4 e acima do plano z=1. Vamos usar coordenadas esféricas, em que
;x=rsinphicostheta,;y=rsinphisintheta,;z=rcosphi,
o integrando raizx^2+y^2+z^2=r e o elemento de volume dV=r^2sinphi,dr,dphi,dtheta.

Passo 2

Em coordenadas esféricas o integral fica
I=integral0^2pi!integralphi=0^phi0!integralr=r-(phi)^r+(phi)r;l(r^2sinphir),dr,dphi,dtheta =2piintegral0^phi0!integralr-(phi)^r+(phi)r^3sinphi,dr,dphi,
onde phi0 e os limites em r vêm de z>=1 e r<=2.

Passo 3

A condição z=rcosphi>=1 r>=1/cosphi, e a esfera impõe r<=2. Como 1/cosphi<=2 só até phi0=arccos(1/2)=pi/3, temos
0<=phi<=pi3, 1cosphi<= r<=2, 0<=theta<=2pi

Passo 4

Fazendo primeiro a integral em r:
integral1/cosphi^2r^3,dr =l[tfracr^44r],1/cosphi^2 =4-14cos^4phi
Logo
I=2piintegral0^pi/3l(4-tfrac14cos^4phir)sinphi,dphi =2pil(I1-I2r),
com
I1=integral0^pi/34sinphi,dphi, I2=integral0^pi/3sinphi4cos^4phi,dphi

Passo 5

Calculemos I1:
I1=4l[-cosphir]0^pi/3 =4l(1-tfrac12r)=2
Portanto 2pi,I1=4pi.

Passo 6

Para I2 use u=cosphi, du=-sinphi,dphi. Então
I2 =14integral0^pi/3sinphi,cos^-4phi,dphi =14integralu=1^1/2(-u^-4),du =14integral1/2^1u^-4,du =712
Logo 2pi,I2=7pi6.

Passo 7

Subtraindo as parcelas:
I=2pil(I1-I2r) =4pi-7pi6 =24pi-7pi6 =17pi6
Esse valor não coincide com nenhuma das opções (A)–(E).

Resposta

(F) 17pi6

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