Considere uma placa plana de espessura L e condutividade térmica \mathrm{K}= cte, na qual é gerada energia a uma taxa constante \mathrm{g}_{0}\left(\mathrm{~W} / \mathrm{m}^{3}\right). A sua superfície \mathrm{em} \mathrm{x}=\mathrm{L} dissipa calor por convecção e a superfície \mathrm{em} \mathrm{x}=0 é isolada. (a) Desenvolva a expressão de temperatura \mathrm{T}(\mathrm{x}) r o fluxo de calor \mathrm{q}(\mathrm{x}) na placa. (b) Calcular as temperaturas nas superfícies x=0 e x=L nas seguintes condições: L=1 \mathrm{~cm}, K=20 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{\circ} \mathrm{C}, \mathrm{g}_{0}=8 \times 10^{7} \mathrm{W} / \mathrm{m}^{3 \circ} \mathrm{C} e \mathrm{T}_{\alpha}=100^{\circ} \mathrm{C}
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
(a) Obter a expressão da temperatura \,T(x)\, e do fluxo de calor \,q(x)\, na placa, sabendo que há geração volumétrica de energia constante \,g_{0}\,, condutividade térmica constante \,K, superfície em \,x=0 isolada e superfície em \,x=L trocando calor por convecção com um fluido cuja temperatura é \,T_{\alpha}\,.
(b) Calcular as temperaturas nas superfícies \,x=0 e \,x=L usando os dados numéricos dados: \,L=1\\ \mathrm{cm}, \,K=20\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}\,^{\circ}\mathrm{C}, \,g_{0}=8\times10^{7}\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^{3}, \,T_{\alpha}=100^{\circ}\mathrm{C}.
Observação importante (usada mais adiante): o enunciado diz que a superfície em x=L “dissipa por convecção”, o que implica a condição de contorno
-q(L)=h\bigl(T(L)-T_{\alpha}\bigr),
onde \,h\, é o coeficiente convectivo (em \mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}\,^{\circ}\mathrm{C}). O valor numérico de \,h\, não foi fornecido no enunciado; portanto, nas respostas numéricas as temperaturas serão expressas em função de \,h, salvo se h for informado.
Passo 2
Escrevemos o balanço de energia em regime permanente e uni‑direcional (1D) com geração volumétrica constante. A equação diferencial é
Explicação didática: esta equação vem do balanço local de energia — o fluxo condutivo que sai menos o que entra, mais a geração interna, deve ser zero em regime permanente. Como K é constante, podemos simplificar:
Aqui \,T(x)\, é a temperatura (em ^\circ\mathrm{C}), \,g_{0}\, tem unidades \mathrm{W}/\mathrm{m}^{3} e K tem unidades \mathrm{W}/(\mathrm{m}\,^{\circ}\mathrm{C}).
Passo 3
Integramos a equação duas vezes para obter T(x). Primeira integração:
\frac{dT}{dx}=-\frac{g_{0}}{K}x+C_{1},
onde C_{1} é constante de integração. Aqui também introduzimos a relação fluxo-condutivo:
q(x)=-K\frac{dT}{dx},
que tem unidades \mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}.
Aplicamos a condição de contorno em x=0: superfície isolada significa fluxo zero em x=0, ou seja
Explicação física: o fluxo que chega à superfície x=L é igual ao calor gerado até aquela posição; esse fluxo deve ser evacuado por convecção, e por isso aparece a relação com \,h.
Em x=0: q(0)=0 (isolamento), e T(0)=T_{\alpha}+\dfrac{g_{0}L}{h}+\dfrac{g_{0}}{2K}L^{2}.
Em x=L: T(L)=T_{\alpha}+\dfrac{g_{0}L}{h} (consistente com a condição de convecção) e q(L)=g_{0}L (todo o calor gerado é evacuado na face x=L).
Observação sobre sinais: aqui adotamos q positivo para fluxo no sentido +x; assim q(x)=g_{0}x indica que o fluxo aumenta com x porque o calor gerado acumulado é maior mais próximo de x=L.
Passo 7
(a) Já temos as expressões pedidas (repetindo de forma clara):
(b) Agora usamos os dados numéricos fornecidos para expressar as temperaturas nas superfícies. Primeiro calculos auxiliares (valores numéricos usando \,L=0,01\\ \mathrm{m}):
Observação final: como o enunciado não informou o valor numérico de \,h, não é possível fornecer valores numéricos finais para \,T(0)\, e \,T(L)\, sem deixar a dependência em \,h. Se você me der um valor de \,h (por exemplo \,h=50\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}\,^{\circ}\mathrm{C} ou outro), eu já consigo calcular os números finais rapidamente.