Considere uma placa plana de espessura L e condutividade térmica \mathrm{K}= cte, na qual é gerada energia a uma taxa constante \mathrm{g}_{0}\left(\mathrm{~W} / \mathrm{m}^{3}\right). A sua superfície \mathrm{em} \mathrm{x}=\mathrm{L} dissipa calor por convecção e a superfície \mathrm{em} \mathrm{x}=0 é isolada. (a) Desenvolva a expressão de temperatura \mathrm{T}(\mathrm{x}) r o fluxo de calor \mathrm{q}(\mathrm{x}) na placa. (b) Calcular as temperaturas nas superfícies x=0 e x=L nas seguintes condições: L=1 \mathrm{~cm}, K=20 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{\circ} \mathrm{C}, \mathrm{g}_{0}=8 \times 10^{7} \mathrm{W} / \mathrm{m}^{3 \circ} \mathrm{C} e \mathrm{T}_{\alpha}=100^{\circ} \mathrm{C}

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  1. (a) Obter a expressão da temperatura \,T(x)\, e do fluxo de calor \,q(x)\, na placa, sabendo que há geração volumétrica de energia constante \,g_{0}\,, condutividade térmica constante \,K, superfície em \,x=0 isolada e superfície em \,x=L trocando calor por convecção com um fluido cuja temperatura é \,T_{\alpha}\,.
  2. (b) Calcular as temperaturas nas superfícies \,x=0 e \,x=L usando os dados numéricos dados: \,L=1\\ \mathrm{cm}, \,K=20\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}\,^{\circ}\mathrm{C}, \,g_{0}=8\times10^{7}\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^{3}, \,T_{\alpha}=100^{\circ}\mathrm{C}.
Informações fornecidas (resumidas):
L=0,01\\ \mathrm{m},\quad K=20\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}\,^{\circ}\mathrm{C},\quad g_{0}=8\times10^{7}\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^{3},\quad T_{\alpha}=100^{\circ}\mathrm{C}.
Observação importante (usada mais adiante): o enunciado diz que a superfície em x=L “dissipa por convecção”, o que implica a condição de contorno
-q(L)=h\bigl(T(L)-T_{\alpha}\bigr),
onde \,h\, é o coeficiente convectivo (em \mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}\,^{\circ}\mathrm{C}). O valor numérico de \,h\, não foi fornecido no enunciado; portanto, nas respostas numéricas as temperaturas serão expressas em função de \,h, salvo se h for informado.

Passo 2

Escrevemos o balanço de energia em regime permanente e uni‑direcional (1D) com geração volumétrica constante. A equação diferencial é
\frac{d}{dx}\!\left(K\frac{dT}{dx}\right)+g_{0}=0.
Explicação didática: esta equação vem do balanço local de energia — o fluxo condutivo que sai menos o que entra, mais a geração interna, deve ser zero em regime permanente. Como K é constante, podemos simplificar:
K\frac{d^{2}T}{dx^{2}}+g_{0}=0 \quad\Longrightarrow\quad \frac{d^{2}T}{dx^{2}}=-\frac{g_{0}}{K}.
Aqui \,T(x)\, é a temperatura (em ^\circ\mathrm{C}), \,g_{0}\, tem unidades \mathrm{W}/\mathrm{m}^{3} e K tem unidades \mathrm{W}/(\mathrm{m}\,^{\circ}\mathrm{C}).

Passo 3

Integramos a equação duas vezes para obter T(x). Primeira integração:
\frac{dT}{dx}=-\frac{g_{0}}{K}x+C_{1},
onde C_{1} é constante de integração. Aqui também introduzimos a relação fluxo-condutivo:
q(x)=-K\frac{dT}{dx},
que tem unidades \mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}.
Aplicamos a condição de contorno em x=0: superfície isolada significa fluxo zero em x=0, ou seja
q(0)=0 \quad\Longrightarrow\quad -K\frac{dT}{dx}\Big|_{x=0}=0 \quad\Rightarrow\quad \frac{dT}{dx}\Big|_{x=0}=0.
Substituindo em \frac{dT}{dx} obtemos C_{1}=0. Assim
\frac{dT}{dx}=-\frac{g_{0}}{K}x.

Passo 4

Integramos novamente para obter T(x):
T(x)=-\frac{g_{0}}{2K}x^{2}+C_{2},
onde C_{2} é outra constante de integração que será determinada pela condição em x=L.

Passo 5

Agora impomos a condição de convecção na face x=L. A Lei de Newton do Resfriamento fornece (sinal consistente com a definição de q):
-q(L)=h\bigl(T(L)-T_{\alpha}\bigr).
Calculamos o fluxo em x=L usando \frac{dT}{dx}=-\frac{g_{0}}{K}x:
q(L)=-K\frac{dT}{dx}\Big|_{x=L}=-K\Bigl(-\frac{g_{0}}{K}L\Bigr)=g_{0}L.
Substituindo em -q(L)=h(T(L)-T_{\alpha})
- g_{0}L = h\bigl(T(L)-T_{\alpha}\bigr) \quad\Longrightarrow\quad T(L)=T_{\alpha}+\frac{g_{0}L}{h}.
Explicação física: o fluxo que chega à superfície x=L é igual ao calor gerado até aquela posição; esse fluxo deve ser evacuado por convecção, e por isso aparece a relação com \,h.
Agora usamos T(L) para achar C_{2}. Como
T(L)=-\frac{g_{0}}{2K}L^{2}+C_{2},
então
C_{2}=T(L)+\frac{g_{0}}{2K}L^{2}=T_{\alpha}+\frac{g_{0}L}{h}+\frac{g_{0}}{2K}L^{2}.

Passo 6

Finalmente escrevemos a solução completa para T(x) e o fluxo q(x). Substituindo C_{2} na expressão de T(x) obtemos, após simplificação:
T(x)=T_{\alpha}+\frac{g_{0}L}{h}+\frac{g_{0}}{2K}\bigl(L^{2}-x^{2}\bigr).
E o fluxo, já encontrado, é
q(x)=g_{0}x.
Interpretação e verificação de limites:
  • Em x=0: q(0)=0 (isolamento), e T(0)=T_{\alpha}+\dfrac{g_{0}L}{h}+\dfrac{g_{0}}{2K}L^{2}.
  • Em x=L: T(L)=T_{\alpha}+\dfrac{g_{0}L}{h} (consistente com a condição de convecção) e q(L)=g_{0}L (todo o calor gerado é evacuado na face x=L).
    Observação sobre sinais: aqui adotamos q positivo para fluxo no sentido +x; assim q(x)=g_{0}x indica que o fluxo aumenta com x porque o calor gerado acumulado é maior mais próximo de x=L.

Passo 7

(a) Já temos as expressões pedidas (repetindo de forma clara):
\boxed{\,T(x)=T_{\alpha}+\dfrac{g_{0}L}{h}+\dfrac{g_{0}}{2K}\bigl(L^{2}-x^{2}\bigr)\,} \qquad\text{e}\qquad \boxed{\,q(x)=g_{0}x\,.}
(b) Agora usamos os dados numéricos fornecidos para expressar as temperaturas nas superfícies. Primeiro calculos auxiliares (valores numéricos usando \,L=0,01\\ \mathrm{m}):
g_{0}L = 8\times10^{7}\cdot0,01 = 8\times10^{5}\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^{2},
\frac{g_{0}}{2K}L^{2}=\frac{8\times10^{7}}{2\cdot20}\cdot(0,01)^{2} =\frac{8\times10^{7}}{40}\cdot10^{-4}=2\times10^{6}\cdot10^{-4}=200\\ ^{\circ}\mathrm{C}.
Portanto, em função de h,
T(L)=T_{\alpha}+\frac{g_{0}L}{h}=100+\frac{8\times10^{5}}{h}\quad(^{\circ}\mathrm{C}),
T(0)=T_{\alpha}+\frac{g_{0}L}{h}+\frac{g_{0}}{2K}L^{2}=100+\frac{8\times10^{5}}{h}+200 =300+\frac{8\times10^{5}}{h}\quad(^{\circ}\mathrm{C}).
Observação final: como o enunciado não informou o valor numérico de \,h, não é possível fornecer valores numéricos finais para \,T(0)\, e \,T(L)\, sem deixar a dependência em \,h. Se você me der um valor de \,h (por exemplo \,h=50\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}\,^{\circ}\mathrm{C} ou outro), eu já consigo calcular os números finais rapidamente.

Resposta

T(x)=T_{\alpha}+\dfrac{g_{0}L}{h}+\dfrac{g_{0}}{2K}\bigl(L^{2}-x^{2}\bigr) \
q(x)=g_{0}x \
T(L)=100+\dfrac{8\times10^{5}}{h}\\ ^{\circ}\mathrm{C} \
T(0)=300+\dfrac{8\times10^{5}}{h}\\ ^{\circ}\mathrm{C}

Exercícios relacionados