Se na superfície de um líquido em repouso o peso específico é gamma0 e o módulo de compressibilidade cúbica varepsilon for constante, determine o peso especifico do líquido a uma distância h abaixo da superfície livre. Depois, mostre que, se o líquido for a água, varepsilon=21.000 Kgf / cm^2, para profundidades relativamente baixas, por exemplo h=100 m, para propósitos práticos, a água pode ser considerada praticamente incompressível.

Passo 1

Beleza, vamos lá. O enunciado diz que na superfície de um líquido (em repouso) o peso específico vale γ₀ e que o módulo de compressibilidade cúbica ε é constante. Precisamos encontrar o peso específico γ a uma profundidade h.
Conteúdo: hidrostática e compressibilidade de fluidos.
O que vamos usar:
  1. Definição de módulo de compressibilidade (bulk modulus) ε = dp/(–dV/V).
  2. Relação entre variação de volume e variação de densidade (ou peso específico).
  3. Equação de equilíbrio hidrostático dp = γ·dz.

Passo 2

Antes de mergulhar nos cálculos, lembra que
– Peso específico γ = ρ·g, mas como g é constante, se descobrirmos como ρ varia com p, já estamos no caminho.
– Módulo de compressibilidade ε diz que uma pressão extra dp muda o volume relativo dV/V segundo
dV/V = – dp/ε.
– Como massa se conserva, dρ/ρ = – dV/V.

Passo 3

Vamos ligar densidade e pressão:
dρ/ρ = – dV/V = + dp/ε.
Ou seja,
(1/ρ)·dρ = (1/ε)·dp.

Passo 4

Integramos essa relação entre a superfície (p=0, ρ=ρ₀) e profundidade h (p=p, ρ=ρ):
∫₀^ρ (dρ/ρ) = ∫₀^p (dp/ε)
→ ln(ρ/ρ₀) = p/ε
→ ρ = ρ₀ · exp(p/ε).
Como γ = ρ·g e γ₀ = ρ₀·g, segue que
γ = γ₀ · exp(p/ε).

Passo 5

Agora só falta escrever p em função de h. Em hidrostática,
dp/dz = γ ≈ γ₀ (variação pequena),
logo p ≃ γ₀·h.
Substituindo em γ:
γ(h) = γ₀ · exp( (γ₀·h)/ε ).

Passo 6

Para profundidades não muito grandes podemos usar a aproximação da exponencial (x≪1):
exp(x) ≈ 1 + x.
Então
γ(h) ≈ γ₀ · [1 + (γ₀·h)/ε].
No caso da água:
ε = 21 000 kgf/cm²,
γ₀ ≈ 1·10⁻³ kgf/cm³,
h = 100 m = 10 000 cm
→ (γ₀·h)/ε = (10⁻³·10⁴)/2.1·10⁴ ≃ 10/2.1·10⁴ ≃ 4.8·10⁻⁴.
Isso dá um aumento de só 0,048%.

Resposta

O peso específico a uma profundidade h é
γ(h) = γ₀ · exp( (γ₀·h)/ε )
e, para h = 100 m na água, γ(h) ≃ γ₀·[1 + 4.8·10⁻⁴], ou seja, praticamente igual a γ₀.

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