Uma parede é feita com uma material não homogêneo (não uniforme) no qual a condutividade térmica varia ao longo da espessura na forma k=a x+b, sendo a e b constantes. Sabe-se que o fluxo térmico é constante. Determine expressões para o gradiente de temperatura e para a distribuição de temperaturas quando a superfície em x=0 está a uma temperatura T1.
R.:
T=-qx^prime primea ln (ax+b)+c T & =-qx^prime primea ln (ax+b)+T1+qx^prime primea ln b & =T1+qx^prime primea ln bax+b

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que o enunciado pede. Temos uma parede de material não‐homogêneo onde a condutividade térmica varia com a posição x segundo
k(x)=a,x+b,, a,b constantes
Sabemos que o fluxo de calor por unidade de área, q''x=-,k(x),dTdx, , é constante em toda espessura. Precisamos achar duas coisas:
1) o gradiente de temperatura ,
2) a distribuição de temperatura , sabendo que em temos .
O que vamos usar:
  • A Lei de Fourier unidimensional no regime estacionário:
    - Integração para obter .

Passo 2

Primeiro, a gente isola o gradiente de temperatura da Lei de Fourier. Como q''x=-,k(x),dTdxLongrightarrow dTdx = -,q''xk(x), é constante, temos:
boxeddTdx = -,q''xa,x + b,
Como , fica:
Isso já resolve o gradiente de temperatura pedido.

Passo 3

Agora a gente integra esse gradiente para achar dTdx = -,q''xa,x + b;;Longrightarrow;; dT = -,q''xa,x + b,dx, . Escrevendo:
integral dT = -,q''x integral dxa,x + b,
Integramos ambos os lados:
integral dxa x + b = 1aln(a x + b) + constante
Na teoria da integração de funções do tipo T(x) = -,q''xa,lnl(a,x + br) + C,, , sabemos que

Logo:
onde é a constante de integração.

Passo 4

Falta só achar T1 = -,q''xa,ln(b) + CLongrightarrow C = T1 + q''xaln(b), usando a condição de contorno T(x) = -,q''xalnl(a,x + br) + T1 + q''xaln(b) . Substituindo T(x)=T1+q''xa,lnba,x + b, :

Substituindo de volta em :
$$
T(x)
= -,\frac{q’’_x}{a}\ln\bigl(a,x + b\bigr)
  • T_1 + \frac{q’’_x}{a}\ln(b).
T(x)=T_1+\frac{q’’_x}{a},\ln\frac{b}{a,x + b},. $$

Resposta

Gradiente de temperatura:
boxeddTdx = -,q''xa,x + b
Distribuição de temperatura:
boxedT(x) = T1 + q''xa,ln!l(ba,x + br)

Exercícios relacionados