Uma parede é feita com uma material não homogêneo (não uniforme) no qual a condutividade térmica varia ao longo da espessura na forma
, sendo
e
constantes. Sabe-se que o fluxo térmico é constante. Determine expressões para o gradiente de temperatura e para a distribuição de temperaturas quando a superfície em
está a uma temperatura
.
R.:
R.:
Passo 1
Beleza, vamos resumir o que o enunciado pede. Temos uma parede de material não‐homogêneo onde a condutividade térmica varia com a posição x segundo
Sabemos que o fluxo de calor por unidade de área,
1) o gradiente de temperatura
2) a distribuição de temperatura
O que vamos usar:
- A Lei de Fourier unidimensional no regime estacionário:
- Integração para obter.
Passo 2
Primeiro, a gente isola o gradiente de temperatura da Lei de Fourier. Como
é constante, temos:
Como
Isso já resolve o gradiente de temperatura pedido.
Passo 3
Agora a gente integra esse gradiente para achar
. Escrevendo:
Integramos ambos os lados:
Na teoria da integração de funções do tipo
, sabemos que
Logo:
onde
é a constante de integração.
Passo 4
Falta só achar
usando a condição de contorno
. Substituindo
:
Substituindo
$$
T(x)
= -,\frac{q’’_x}{a}\ln\bigl(a,x + b\bigr)
= -,\frac{q’’_x}{a}\ln\bigl(a,x + b\bigr)
- T_1 + \frac{q’’_x}{a}\ln(b).
Resposta
Gradiente de temperatura:
Distribuição de temperatura: