9.5 A conductor located at
moves with velocity
in a magnetic field,
where
is a constant. Determine the induced voltage.
Passo 1
Dados do enunciado (o que temos) e o que é pedido:
- O condutor ocupa a região
; isto é, tem uma extremidade em e a outra em . - A velocidade do condutor é
. - O campo magnético é
, com constante. - Pergunta: determinar a tensão induzida (fem) entre as extremidades do condutor (entre
e ).
Passo 2
Conceito necessário (motional emf) — aula curta e direta:
- Partículas carregadas ligadas ao condutor que se movem com velocidade
dentro de um campo magnético sofrem força magnética . - Essa força separa cargas ao longo do condutor e cria uma diferença de potencial (tensão) entre as extremidades. A expressão para a fem (tensão induzida) ao longo de um fio móvel é
onde
é um elemento de comprimento ao longo do fio (vetor apontando do ponto inicial ao final).
- Explicando as variáveis:
é a velocidade do condutor, o campo magnético no ponto considerado, aponta ao longo do condutor no sentido em que queremos calcular a diferença de potencial (a integral dá o trabalho por unidade de carga ao deslocar uma carga do ponto inicial ao final).
Passo 3
Aplicando a fórmula ao nosso caso — cálculo do produto vetorial:
- Escrevemos explicitamente
e . - Então
- Lembrete do produto vetorial de base:
, , . Dessa ordem segue que . - Logo
Passo 4
Escolhendo
e formando o integrando:
- O condutor está ao longo do eixo
, então um elemento de comprimento é , apontando no sentido do aumento de . - O produto escalar que entra na integral é
Passo 5
Calcular a integral da fem entre
e
:
- Usando a fórmula
- Integrando:
- Avaliando os limites:
Passo 6
Interpretação física e caso limite:
- A expressão encontrada é a fem com sinal:
. O sinal indica qual extremidade fica com potencial maior (dependendo do sentido escolhido para ); se você quiser apenas o módulo da tensão, tome o valor absoluto:
- Verificação do caso
(campo quase uniforme ): usar , obtém-se , consistente com integrar ao longo de .