9.5 A conductor located at 0<y<1.6 \mathrm{~m} moves with velocity 2 \mathrm{a}_{x} \mathrm{~m} / \mathrm{s} in a magnetic field, B=10 \cos \beta y a_{z} \mathrm{~Wb} / \mathrm{m}^{2} where \beta is a constant. Determine the induced voltage.

Passo 1

Dados do enunciado (o que temos) e o que é pedido:
  • O condutor ocupa a região 0<y<1{,}6\\ \mathrm{m}; isto é, tem uma extremidade em y=0 e a outra em y=1{,}6.
  • A velocidade do condutor é \mathbf{v}=2\,\mathbf{a}_x\\ \mathrm{m/s}.
  • O campo magnético é \mathbf{B}=10\cos(\beta y)\,\mathbf{a}_z\\ \mathrm{Wb/m^2}, com \beta constante.
  • Pergunta: determinar a tensão induzida (fem) entre as extremidades do condutor (entre y=0 e y=1{,}6).

Passo 2

Conceito necessário (motional emf) — aula curta e direta:
  • Partículas carregadas ligadas ao condutor que se movem com velocidade \mathbf{v} dentro de um campo magnético \mathbf{B} sofrem força magnética \mathbf{F}=q(\mathbf{v}\times\mathbf{B}).
  • Essa força separa cargas ao longo do condutor e cria uma diferença de potencial (tensão) entre as extremidades. A expressão para a fem (tensão induzida) ao longo de um fio móvel é
\mathcal{E}=\int_{y_1}^{y_2} (\mathbf{v}\times\mathbf{B})\cdot d\mathbf{l},
onde d\mathbf{l} é um elemento de comprimento ao longo do fio (vetor apontando do ponto inicial ao final).
  • Explicando as variáveis: \mathbf{v} é a velocidade do condutor, \mathbf{B} o campo magnético no ponto considerado, d\mathbf{l} aponta ao longo do condutor no sentido em que queremos calcular a diferença de potencial (a integral dá o trabalho por unidade de carga ao deslocar uma carga do ponto inicial ao final).

Passo 3

Aplicando a fórmula ao nosso caso — cálculo do produto vetorial:
  • Escrevemos explicitamente \mathbf{v}=2\,\mathbf{a}_x e \mathbf{B}=10\cos(\beta y)\,\mathbf{a}_z.
  • Então
\mathbf{v}\times\mathbf{B}=2\,\mathbf{a}_x\times\bigl(10\cos(\beta y)\,\mathbf{a}_z\bigr)=20\cos(\beta y)\,(\mathbf{a}_x\times\mathbf{a}_z).
  • Lembrete do produto vetorial de base: \mathbf{a}_x\times\mathbf{a}_y=\mathbf{a}_z, \mathbf{a}_y\times\mathbf{a}_z=\mathbf{a}_x, \mathbf{a}_z\times\mathbf{a}_x=\mathbf{a}_y. Dessa ordem segue que \mathbf{a}_x\times\mathbf{a}_z=-\mathbf{a}_y.
  • Logo
\mathbf{v}\times\mathbf{B}=-20\cos(\beta y)\,\mathbf{a}_y.

Passo 4

Escolhendo d\mathbf{l} e formando o integrando:
  • O condutor está ao longo do eixo y, então um elemento de comprimento é d\mathbf{l}=dy\,\mathbf{a}_y, apontando no sentido do aumento de y.
  • O produto escalar que entra na integral é
(\mathbf{v}\times\mathbf{B})\cdot d\mathbf{l}=\bigl(-20\cos(\beta y)\,\mathbf{a}_y\bigr)\cdot\bigl(dy\,\mathbf{a}_y\bigr)=-20\cos(\beta y)\,dy.

Passo 5

Calcular a integral da fem entre y=0 e y=1{,}6:
  • Usando a fórmula
\mathcal{E}=\int_{0}^{1{,}6} (\mathbf{v}\times\mathbf{B})\cdot d\mathbf{l}=\int_{0}^{1{,}6} \bigl(-20\cos(\beta y)\bigr)\,dy.
  • Integrando:
\mathcal{E}=-20\int_{0}^{1{,}6}\cos(\beta y)\,dy=-20\left[\frac{1}{\beta}\sin(\beta y)\right]_{0}^{1{,}6}.
  • Avaliando os limites:
\mathcal{E}=-\frac{20}{\beta}\bigl(\sin(1{,}6\beta)-\sin(0)\bigr)=-\frac{20}{\beta}\sin(1{,}6\beta).

Passo 6

Interpretação física e caso limite:
  • A expressão encontrada é a fem com sinal: \mathcal{E}=-\dfrac{20}{\beta}\sin(1{,}6\beta). O sinal indica qual extremidade fica com potencial maior (dependendo do sentido escolhido para d\mathbf{l}); se você quiser apenas o módulo da tensão, tome o valor absoluto:
|\mathcal{E}|=\frac{20}{|\beta|}\bigl|\sin(1{,}6\beta)\bigr|.
  • Verificação do caso \beta\to 0 (campo quase uniforme \mathbf{B}\approx 10\mathbf{a}_z): usar \lim_{\beta\to 0}\sin(1{,}6\beta)/\beta=1{,}6, obtém-se \mathcal{E}\to -20\times1{,}6=-32\\ \mathrm{V}, consistente com integrar -20 ao longo de 1{,}6\\ \mathrm{m}.

Resposta

-\dfrac{20}{\beta}\sin(1{,}6\beta)\\ \mathrm{V}

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