Da superfície de um poliedro regular de faces pentagonais tiram-se as três faces adjacentes a um vértice comum. Calcule o número de arestas, faces e vértices da superfície poliédrica aberta que resta.
Passo 1
O enunciado diz: temos um poliedro regular de faces pentagonais; das suas faces tiram-se as três faces que são adjacentes a um mesmo vértice. Pede-se: calcular o número de arestas, faces e vértices da superfície poliédrica aberta que resta (ou seja, da superfície após a remoção dessas três faces).
Informações relevantes que o enunciado nos dá ou que podemos usar sem prova aqui: o único poliedro regular convexo cujas faces são pentágonos é o dodecaedro regular; para ele valem os números clássicos
Informações relevantes que o enunciado nos dá ou que podemos usar sem prova aqui: o único poliedro regular convexo cujas faces são pentágonos é o dodecaedro regular; para ele valem os números clássicos
onde
é o número de faces,
o número de arestas e
o número de vértices. Estas quantidades serão a base para contarmos o que sobra quando tirarmos as três faces.
Passo 2
Entendendo o que significa “tirar” três faces e como isso afeta
.
- Tirar uma face reduz o número de faces em
. Logo, se tiramos três faces, o número de faces restantes será . - Uma aresta da superfície original desaparece da superfície resultante apenas se ela pertencer simultaneamente às duas faces que foram removidas (porque uma aresta na superfície é sempre o bordo comum a duas faces). Se uma aresta tem uma face removida e a outra face permanece, a aresta continua existindo como aresta de fronteira da superfície aberta.
- Um vértice da superfície original desaparece da superfície resultante apenas se todas as faces que passam por esse vértice forem removidas; caso contrário o vértice permanece (possivelmente agora como vértice de fronteira).
Vamos aplicar estas observações ao caso concreto das três faces adjacentes a um vértice comum.
Passo 3
Contagem direta das faces após a remoção.
Como dito, remover três faces diminui em
. Portanto
Como dito, remover três faces diminui
Ou seja, sobram
faces.
Passo 4
Contagem das arestas removidas.
Precisamos achar quantas arestas tinham as duas faces incidindo removidas (isto é, arestas internas ao conjunto das três faces retiradas). As três faces escolhidas são justamente as três faces que se encontram em um vértice comum; em um dodecaedro em cada vértice se encontram exatamente faces. Essas três faces formam um “fan” em torno desse vértice: cada par de faces adjacentes entre essas três compartilha uma aresta. Como há três faces, há exatamente três pares adjacentes distintos, logo há exatamente três arestas que são comuns a duas faces removidas. Essas arestas deixam de existir na superfície restante (porque ambas as faces incidentes a elas foram retiradas). Portanto o número de arestas removidas é
.
Logo o número de arestas que permanecem é
Precisamos achar quantas arestas tinham as duas faces incidindo removidas (isto é, arestas internas ao conjunto das três faces retiradas). As três faces escolhidas são justamente as três faces que se encontram em um vértice comum; em um dodecaedro em cada vértice se encontram exatamente
Logo o número de arestas que permanecem é
Passo 5
Contagem dos vértices removidos.
Em cada vértice do dodecaedro incidem exatamente faces. O vértice comum escolhido ao qual as três faces removidas estavam adjacentes tinha exatamente essas três faces como incidentes; ao removermos essas três faces, esse vértice deixa de estar em nenhuma face restante, portanto ele desaparece da superfície. Agora, e os outros vértices que pertenciam às faces removidas? Cada uma dessas outras vértices pertence a pelo menos uma face que não foi removida (pois cada vértice do dodecaedro pertence a três faces e, além das duas faces vizinhas entre as removidas, há sempre uma terceira face que não foi removida). Assim, nenhum outro vértice é totalmente “desconectado” — eles permanecem na superfície, possivelmente como vértices de fronteira. Portanto somente o vértice comum é removido, ou seja, foi removido exatamente
vértice.
Logo
Em cada vértice do dodecaedro incidem exatamente
Logo
Passo 6
Verificação via característica de Euler (checar consistência).
Para a superfície fechada original temos a identidade de Euler
Para a superfície fechada original temos a identidade de Euler
com
,
,
que satisfaz. Após remover as três faces (obtendo uma superfície com borda), a combinação
deixa de ser
; vamos calcular para confirmar consistência aritmética:
O valor
é coerente com a interpretação topológica: retiramos uma porção conexa (as três faces que formam um disco) da superfície esférica, deixando uma superfície com uma única componente de borda; para uma superfície com uma borda conectada a característica de Euler ser
está de acordo com a teoria (é um bom checador de sanidade do nosso cálculo). Assim os números obtidos são consistentes.
Resposta
Arestas:
\n
Faces: \n
Vértices:
Faces:
Vértices: