Considere que um cilindro muito longo de comprimento l e raio R, que está carregado com uma densidade volumétrica de carga dada por rho(r)=rho0(1-r / R), com 0 <= r <= R, rho constante e r a distância radial. Determine a carga total por unidade de comprimento contida no cilindro.

Passo 1

O enunciado dá um cilindro muito longo de raio R com densidade volumétrica de carga rho(r)=rho0l(1 - r/Rr). Como o cilindro é “infinito” (ou muito longo), queremos a carga por unidade de comprimento, isto é, a densidade linear de carga lambda. Para resolver, vamos usar integração em coordenadas cilíndricas sobre a seção transversal.

Passo 2

A carga total por unidade de comprimento lambda é a integral da densidade sobre a área da seção transversal:
lambda ;=;integralárea rho(r),dA á
Em coordenadas cilíndricas, dA = 2pi,r,dr, então
lambda ;=;integral0^R rho(r),l(2pi,r,drr)

Passo 3

Substituindo rho(r)=rho0l(1 - r/Rr), fica
lambda = 2pi,rho0integral0^R rl(1 - tfracrRr),dr

Passo 4

Expandindo o integrando:
rl(1 - tfracrRr) ;=; r - tfracr^2R
Logo,
integral0^Rl(r - tfracr^2Rr),dr =gl[tfracr^22 - tfracr^33Rgr]0^R =tfracR^22 - tfracR^23 =tfracR^26

Passo 5

Substituindo de volta em lambda:
lambda = 2pi,rho0,R^26 =pi,rho0,R^23

Resposta

lambda = pi,rho0,R^23

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