As superficies equipotenciais associadas a um dipolo elétrico são
Escolha uma opção:
◯ a. planos perpendiculares ao momento do dipolo.
◯ b. planos paralelos ao momento do dipolo.
◯ c. cilindros cujo eixo coincide com o momento do dipolo.
◯ d. esferas com o centro no dipolo.
◯ e. Nenhuma das respostas.

Passo 1

O enunciado pergunta: quais são as superfícies equipotenciais associadas a um dipolo elétrico? As opções dadas são:
  • a. planos perpendiculares ao momento do dipolo.
  • b. planos paralelos ao momento do dipolo.
  • c. cilindros cujo eixo coincide com o momento do dipolo.
  • d. esferas com o centro no dipolo.
  • e. Nenhuma das respostas.
Informações implícitas que podemos usar (sem resolver ainda):
  • Um dipolo elétrico típico é formado por duas cargas opostas +q e -q separadas por uma pequena distância d.
  • O momento de dipolo é o vetor \mathbf{p} de módulo p=qd apontando de -q para +q.
    A partir disso devemos identificar a forma geométrica das superfícies onde o potencial elétrico é constante.

Passo 2

O que é potencial de um dipolo e como calcular (ideia intuitiva).
  • O potencial elétrico em um ponto \mathbf r devido a duas cargas pontuais +q e -q é a soma das contribuições de cada carga:
V(\mathbf r)=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\left(\frac{q}{r_+}-\frac{q}{r_-}\right),
onde r_+ é a distância do ponto até a carga +q e r_- é a distância até a carga -q.
  • Para estudar a forma das equipotenciais costuma-se usar o dipolo ideal (separação d muito pequena) e a aproximação de campo distante (ponto a distância r tal que r\gg d).

Passo 3

Posição escolhida para calcular com clareza e aproximação por série.
  • Coloca-se o dipolo ao longo do eixo z, com o centro no ponto de referência e as cargas em \pm d/2 sobre z.
  • Para um ponto a distância r que forma ângulo \theta com o eixo do dipolo, usa-se a aproximação (expansão binomial) para r_{\pm}:
r_{\pm}\approx r \mp \frac{d}{2}\cos\theta,
e, usando \dfrac{1}{r\mp a}\approx \dfrac{1}{r}\pm \dfrac{a}{r^2} para a\ll r, obtemos
\frac{1}{r_+}-\frac{1}{r_-}\approx \frac{d\cos\theta}{r^2}.

Passo 4

Definição do momento de dipolo e expressão do potencial do dipolo.
  • Define-se o momento de dipolo \mathbf p com módulo p=qd e direção ao longo do eixo do dipolo.
  • Substituindo na expressão do potencial e usando a aproximação acima resulta a conhecida forma do potencial de um dipolo ideal (campo longe):
V(\mathbf r)=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\,\frac{\mathbf p\cdot\hat r}{r^2}.
  • Em coordenadas esféricas, \mathbf p\cdot\hat r=p\cos\theta, então fica
V(r,\theta)=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\,\frac{p\cos\theta}{r^2}.
Aqui:
  • r é a distância ao centro do dipolo,
  • \theta é o ângulo entre \mathbf p e a direção até o ponto,
  • p é o módulo do momento de dipolo,
  • \epsilon_0 é a permissividade do vácuo.

Passo 5

Equação das superfícies equipotenciais a partir do potencial.
  • Equipotenciais são as superfícies onde V é constante. Seja V_0 uma constante fixa; então
V_0=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\,\frac{p\cos\theta}{r^2}.
  • Isolando r^2 obtemos
r^2=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\,\frac{p\cos\theta}{V_0}\quad\Longrightarrow\quad r^2\propto \cos\theta.
  • Essa equação descreve superfícies de revolução em torno do eixo do dipolo (eixo de \mathbf p), com perfil dado pela relação r(\theta)=\sqrt{C\cos\theta} (onde C é constante relacionada a V_0) — claramente não é a equação de um plano, nem de uma esfera ( r= constante), nem de um cilindro (relação linear entre coordenadas transversais).

Passo 6

Interpretação geométrica e comparação com as alternativas.
  • As equipotenciais são superfícies de revolução cujo formato obedece à dependência r^2\propto\cos\theta. Isso corresponde a “bolhas” em torno do eixo, abertas nos polos e não a planos, cilindros ou esferas centradas no dipolo.
  • Observação especial: a superfície com V_0=0 inclui o plano equatorial \theta=\pi/2 (pois \cos\theta=0). Ou seja, o plano que corta perpendicularmente ao dipolo é uma equipotencial particular (a equipotencial nula), mas isso não implica que todas as equipotenciais sejam planos.
  • Conclusão: nenhuma das opções (planos perpendicular/paralelo, cilindros ou esferas) descreve corretamente, em geral, todas as superfícies equipotenciais do dipolo.

Resposta

(e) Nenhuma das respostas.

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