As superficies equipotenciais associadas a um dipolo elétrico são
Escolha uma opção:
◯ a. planos perpendiculares ao momento do dipolo.
◯ b. planos paralelos ao momento do dipolo.
◯ c. cilindros cujo eixo coincide com o momento do dipolo.
◯ d. esferas com o centro no dipolo.
◯ e. Nenhuma das respostas.
◯ a. planos perpendiculares ao momento do dipolo.
◯ b. planos paralelos ao momento do dipolo.
◯ c. cilindros cujo eixo coincide com o momento do dipolo.
◯ d. esferas com o centro no dipolo.
◯ e. Nenhuma das respostas.
Passo 1
O enunciado pergunta: quais são as superfícies equipotenciais associadas a um dipolo elétrico? As opções dadas são:
- a. planos perpendiculares ao momento do dipolo.
- b. planos paralelos ao momento do dipolo.
- c. cilindros cujo eixo coincide com o momento do dipolo.
- d. esferas com o centro no dipolo.
- e. Nenhuma das respostas.
Informações implícitas que podemos usar (sem resolver ainda):
- Um dipolo elétrico típico é formado por duas cargas opostas
e separadas por uma pequena distância . - O momento de dipolo é o vetor
de módulo apontando de para .
A partir disso devemos identificar a forma geométrica das superfícies onde o potencial elétrico é constante.
Passo 2
O que é potencial de um dipolo e como calcular (ideia intuitiva).
- O potencial elétrico em um ponto
devido a duas cargas pontuais e é a soma das contribuições de cada carga:
onde
é a distância do ponto até a carga
e
é a distância até a carga
.
- Para estudar a forma das equipotenciais costuma-se usar o dipolo ideal (separação
muito pequena) e a aproximação de campo distante (ponto a distância tal que ).
Passo 3
Posição escolhida para calcular com clareza e aproximação por série.
- Coloca-se o dipolo ao longo do eixo
, com o centro no ponto de referência e as cargas em sobre . - Para um ponto a distância
que forma ângulo com o eixo do dipolo, usa-se a aproximação (expansão binomial) para :
e, usando
para
, obtemos
Passo 4
Definição do momento de dipolo e expressão do potencial do dipolo.
- Define-se o momento de dipolo
com módulo e direção ao longo do eixo do dipolo. - Substituindo na expressão do potencial e usando a aproximação acima resulta a conhecida forma do potencial de um dipolo ideal (campo longe):
- Em coordenadas esféricas,
, então fica
Aqui:
-
é a distância ao centro do dipolo, -
é o ângulo entre e a direção até o ponto, -
é o módulo do momento de dipolo, -
é a permissividade do vácuo.
Passo 5
Equação das superfícies equipotenciais a partir do potencial.
- Equipotenciais são as superfícies onde
é constante. Seja uma constante fixa; então
- Isolando
obtemos
- Essa equação descreve superfícies de revolução em torno do eixo do dipolo (eixo de
), com perfil dado pela relação (onde é constante relacionada a ) — claramente não é a equação de um plano, nem de uma esfera ( constante), nem de um cilindro (relação linear entre coordenadas transversais).
Passo 6
Interpretação geométrica e comparação com as alternativas.
- As equipotenciais são superfícies de revolução cujo formato obedece à dependência
. Isso corresponde a “bolhas” em torno do eixo, abertas nos polos e não a planos, cilindros ou esferas centradas no dipolo. - Observação especial: a superfície com
inclui o plano equatorial (pois ). Ou seja, o plano que corta perpendicularmente ao dipolo é uma equipotencial particular (a equipotencial nula), mas isso não implica que todas as equipotenciais sejam planos. - Conclusão: nenhuma das opções (planos perpendicular/paralelo, cilindros ou esferas) descreve corretamente, em geral, todas as superfícies equipotenciais do dipolo.
Resposta
(e) Nenhuma das respostas.