Utilizando a Lei de gauss, calcule a intensida de do campo elétrico a uma distância X do centro de uma esfera condutora de raio R carregada com densidade linear \lambda tal que:
x<R \rightarrow dentro do condutor

Passo 1

O enunciado dá uma esfera condutora de raio R carregada com alguma densidade (o enunciado cita \lambda, mas o tipo exato de densidade não é necessário aqui) e pede a intensidade do campo elétrico a uma distância x do centro da esfera, no caso x<R (ou seja, um ponto dentro do condutor). Informações relevantes que vamos usar:
  • Raio da esfera: R.
  • Ponto onde se quer o campo: distância do centro x tal que x<R (dentro do corpo do condutor).
  • A esfera é condutora e está em equilíbrio eletrostático (situação implícita quando se fala “esfera condutora carregada”).
  • Não há figura adicional enviada.
O que o problema pede: calcular a intensidade do campo elétrico em um ponto interno ( x<R).

Passo 2

Lembrete da ferramenta que vamos usar: Lei de Gauss. Vou escrever a lei e explicar cada termo para você entender bem como aplicar em prova.
A Lei de Gauss em sua forma integral diz
\oint_{\mathcal S}\mathbf{E}\cdot d\mathbf{A}=\frac{Q_{\text{int}}}{\varepsilon_0},
onde:
  • \oint_{\mathcal S}\mathbf{E}\cdot d\mathbf{A} é o fluxo elétrico através de uma superfície fechada \mathcal S;
  • \mathbf{E} é o campo elétrico no local da superfície;
  • d\mathbf{A} é o elemento vetorial de área da superfície (magnitude igual à área do elemento e direção normal para fora);
  • Q_{\text{int}} é a carga total contida no interior da superfície fechada \mathcal S;
  • \varepsilon_0 é a permissividade do vácuo (constante).
Explicando em palavras: a soma do fluxo do campo elétrico por uma superfície fechada é proporcional à carga total dentro dessa superfície. Essa lei é ótima quando a simetria nos permite simplificar o fluxo.

Passo 3

Escolha da superfície gaussiana: por simetria esférica, para um ponto a uma distância x do centro é natural escolher uma esfera gaussiana centrada no mesmo centro da esfera condutora, com raio r=x (com r<x não faz sentido; usamos r=x aqui). Essa superfície é fechada, e devido à simetria:
  • o campo elétrico, se não dependesse de outras complicações, seria radial e de mesma magnitude em todos os pontos da superfície esférica de raio r;
  • portanto o produto escalar no fluxo fica \mathbf{E}\cdot d\mathbf{A}=E(r)\,dA com E(r) constante sobre a superfície.
Assim o fluxo se reduz a
\oint_{\mathcal S}\mathbf{E}\cdot d\mathbf{A}=E(r)\cdot 4\pi r^{2}.

Passo 4

Agora precisamos do termo Q_{\text{int}}: carga contida dentro da esfera gaussiana de raio r=x<R.
Propriedade fundamental de condutores em equilíbrio eletrostático: toda carga elétrica livre de um condutor macroscópico repousa na superfície externa do condutor. Ou seja, não há carga livre no interior do material condutor; o interior é eletroneutral. Portanto, se a esfera condutora tem carga total qualquer (distribuída sobre a superfície r=R), uma esfera gaussiana de raio r<R não contém nenhuma carga no seu interior.
Logo
Q_{\text{int}}=0\quad\text{para }r<x<R.

Passo 5

Aplicando a Lei de Gauss com os resultados dos passos anteriores:
E(r)\cdot 4\pi r^{2}=\frac{Q_{\text{int}}}{\varepsilon_0}=\frac{0}{\varepsilon_0}=0.
Dividindo por 4\pi r^{2} (que é diferente de zero para r>0), obtemos
E(r)=0\quad\text{para }0<r<R.
No ponto exatamente no centro ( r=0) o campo também é nulo por simetria (não há direção preferencial), então o campo é zero em todo o interior sólido da esfera condutora.

Passo 6

Interpretação física curta e dica de prova (para te ajudar na hora da cobrança): em um condutor em equilíbrio eletrostático o campo elétrico no interior do material é nulo e toda a carga livre reside na superfície externa. Se o examinador desse um valor \lambda qualquer (por exemplo \lambda confundido com densidade linear), isso não altera o fato físico: desde que seja um condutor em equilíbrio, dentro vale E=0. Se fosse uma esfera isolante com carga distribuída no volume, aí o campo interno poderia ser diferente (por exemplo, para uma esfera condutora isolante com carga volumétrica uniforme o campo interno cresce linearmente com r; mas esse não é o caso aqui).

Resposta

\mathbf{E}(x)=\mathbf{0} para x<R.

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