Utilizando a Lei de gauss, calcule a intensida de do campo elétrico a uma distância
do centro de uma esfera condutora de raio
carregada com densidade linear
tal que:
dentro do condutor
Passo 1
O enunciado dá uma esfera condutora de raio
carregada com alguma densidade (o enunciado cita
, mas o tipo exato de densidade não é necessário aqui) e pede a intensidade do campo elétrico a uma distância
do centro da esfera, no caso
(ou seja, um ponto dentro do condutor). Informações relevantes que vamos usar:
- Raio da esfera:
. - Ponto onde se quer o campo: distância do centro
tal que (dentro do corpo do condutor). - A esfera é condutora e está em equilíbrio eletrostático (situação implícita quando se fala “esfera condutora carregada”).
- Não há figura adicional enviada.
O que o problema pede: calcular a intensidade do campo elétrico em um ponto interno (
).
Passo 2
Lembrete da ferramenta que vamos usar: Lei de Gauss. Vou escrever a lei e explicar cada termo para você entender bem como aplicar em prova.
A Lei de Gauss em sua forma integral diz
onde:
-
é o fluxo elétrico através de uma superfície fechada ; -
é o campo elétrico no local da superfície; -
é o elemento vetorial de área da superfície (magnitude igual à área do elemento e direção normal para fora); -
é a carga total contida no interior da superfície fechada ; -
é a permissividade do vácuo (constante).
Explicando em palavras: a soma do fluxo do campo elétrico por uma superfície fechada é proporcional à carga total dentro dessa superfície. Essa lei é ótima quando a simetria nos permite simplificar o fluxo.
Passo 3
Escolha da superfície gaussiana: por simetria esférica, para um ponto a uma distância
do centro é natural escolher uma esfera gaussiana centrada no mesmo centro da esfera condutora, com raio
(com
não faz sentido; usamos
aqui). Essa superfície é fechada, e devido à simetria:
- o campo elétrico, se não dependesse de outras complicações, seria radial e de mesma magnitude em todos os pontos da superfície esférica de raio
; - portanto o produto escalar no fluxo fica
com constante sobre a superfície.
Assim o fluxo se reduz a
Passo 4
Agora precisamos do termo
: carga contida dentro da esfera gaussiana de raio
.
Propriedade fundamental de condutores em equilíbrio eletrostático: toda carga elétrica livre de um condutor macroscópico repousa na superfície externa do condutor. Ou seja, não há carga livre no interior do material condutor; o interior é eletroneutral. Portanto, se a esfera condutora tem carga total qualquer (distribuída sobre a superfície
), uma esfera gaussiana de raio
não contém nenhuma carga no seu interior.
Logo
Passo 5
Aplicando a Lei de Gauss com os resultados dos passos anteriores:
Dividindo por
(que é diferente de zero para
), obtemos
No ponto exatamente no centro (
) o campo também é nulo por simetria (não há direção preferencial), então o campo é zero em todo o interior sólido da esfera condutora.
Passo 6
Interpretação física curta e dica de prova (para te ajudar na hora da cobrança): em um condutor em equilíbrio eletrostático o campo elétrico no interior do material é nulo e toda a carga livre reside na superfície externa. Se o examinador desse um valor
qualquer (por exemplo
confundido com densidade linear), isso não altera o fato físico: desde que seja um condutor em equilíbrio, dentro vale
. Se fosse uma esfera isolante com carga distribuída no volume, aí o campo interno poderia ser diferente (por exemplo, para uma esfera condutora isolante com carga volumétrica uniforme o campo interno cresce linearmente com
; mas esse não é o caso aqui).