Utilizando a Lei de gauss, calcule a intensida de do campo elétrico a uma distância X do centro de uma esfera condutora de raio R carregada com densidade linear \lambda tal que:
x>R \rightarrow fora da esfera

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados e pede uma coisa:
  • Raio da esfera condutora: R.
  • Distância do ponto onde se quer o campo até o centro da esfera: x, com x>R (ou seja, ponto fora da esfera).
  • A esfera está carregada com uma “densidade” \lambda (o enunciado escreve \lambda como densidade linear, mas esse detalhe será tratado nas próximas etapas).
    O que se pede: calcular a intensidade do campo elétrico E no ponto a distância x do centro, para x>R.

Passo 2

Comentário físico importante (isso faz parte da resolução): numa esfera condutora em equilíbrio eletrostático, toda a carga excessiva reside sobre a superfície da esfera. Ou seja, toda a carga que influencia o campo fora da esfera está localizada na casca esférica de raio R.
Agora uma ferramenta central que vamos usar (vou explicar o que é cada coisa): a Lei de Gauss em forma integral
\oint_{\mathcal{S}}\mathbf{E}\cdot d\mathbf{A}=\frac{Q_{\text{int}}}{\varepsilon_0},
onde
  • \oint_{\mathcal{S}}\mathbf{E}\cdot d\mathbf{A} é o fluxo elétrico total do campo \mathbf{E} através de uma superfície fechada \mathcal{S};
  • Q_{\text{int}} é a carga elétrica total contida no interior dessa superfície \mathcal{S};
  • \varepsilon_0 é a permissividade elétrica do vácuo (constante).
    A ideia: escolher uma superfície gaussiana com a mesma simetria do problema para facilitar as contas.

Passo 3

Escolha da superfície gaussiana e uso da simetria:
  • Como a esfera condutora é simétrica por rotação e estamos calculando E no exterior a uma distância radial x, a escolha natural é uma esfera imaginária concêntrica de raio x.
  • Nessa superfície gaussiana, por simetria, o campo é radial e tem o mesmo módulo em todos os pontos da superfície; chamamos esse módulo de E(x).
  • Elemento de área da esfera gaussiana: dA. A área total da esfera de raio x é 4\pi x^{2}.
    Portanto o fluxo é simplesmente
\oint_{\mathcal{S}}\mathbf{E}\cdot d\mathbf{A}=E(x)\cdot 4\pi x^{2}.

Passo 4

Aplicando a Lei de Gauss com a superfície escolhida:
  • O termo Q_{\text{int}} é a carga total presente na esfera condutora (toda a carga está na superfície de raio R), chamemos essa carga total de Q.
    Substituindo na lei de Gauss:
E(x)\cdot 4\pi x^{2}=\frac{Q}{\varepsilon_0}.
Isolando E(x) obtemos a expressão clássica (para x>R):
E(x)=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{Q}{x^{2}}.
Interpretação física: para pontos fora de uma esfera condutora carregada, o campo elétrico é igual ao de uma carga pontual Q colocada no centro da esfera.

Passo 5

Relacionando Q com a densidade fornecida \lambda:
O enunciado menciona “densidade linear \lambda”, mas para uma esfera condutora é mais natural usar densidade superficial \sigma (unidade \text{C}/\text{m}^{2}) ou a carga total Q. Há duas formas de proceder dependendo da intenção do enunciado:
  • Caso o enunciado queira a resposta em termos da carga total Q: usamos diretamente a expressão encontrada acima.
  • Caso o que se chamou de \lambda na verdade seja a densidade superficial de carga (isto é, \lambda foi usado no lugar de \sigma), então a carga total é
Q=\lambda\cdot 4\pi R^{2},
pois a área da superfície esférica é 4\pi R^{2}. Substituindo em E(x) obtemos
E(x)=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{\lambda\cdot 4\pi R^{2}}{x^{2}}=\frac{\lambda R^{2}}{\varepsilon_0\,x^{2}}.
Observação sobre a unidade: nessa última expressão \lambda tem unidade de carga por área ( \text{C}/\text{m}^{2}). Se realmente \lambda for densidade linear ( \text{C}/\text{m}), é preciso saber sobre qual comprimento essa densidade foi definida para obter Q; sem essa informação não dá para expressar Q em termos de \lambda.

Resposta

E(x)=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{Q}{x^{2}}\quad\text{para }x>R.
Se \lambda for a densidade superficial (isto é, \lambda\equiv\sigma), então
E(x)=\frac{\lambda R^{2}}{\varepsilon_0\,x^{2}}\quad\text{para }x>R.

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