Utilizando a Lei de gauss, calcule a intensida de do campo elétrico a uma distância
do centro de uma esfera condutora de raio
carregada com densidade linear
tal que:
fora da esfera
Passo 1
O enunciado dá os seguintes dados e pede uma coisa:
- Raio da esfera condutora:
. - Distância do ponto onde se quer o campo até o centro da esfera:
, com (ou seja, ponto fora da esfera). - A esfera está carregada com uma “densidade”
(o enunciado escreve como densidade linear, mas esse detalhe será tratado nas próximas etapas).
O que se pede: calcular a intensidade do campo elétricono ponto a distância do centro, para .
Passo 2
Comentário físico importante (isso faz parte da resolução): numa esfera condutora em equilíbrio eletrostático, toda a carga excessiva reside sobre a superfície da esfera. Ou seja, toda a carga que influencia o campo fora da esfera está localizada na casca esférica de raio
.
Agora uma ferramenta central que vamos usar (vou explicar o que é cada coisa): a Lei de Gauss em forma integral
onde
-
é o fluxo elétrico total do campo através de uma superfície fechada ; -
é a carga elétrica total contida no interior dessa superfície ; -
é a permissividade elétrica do vácuo (constante).
A ideia: escolher uma superfície gaussiana com a mesma simetria do problema para facilitar as contas.
Passo 3
Escolha da superfície gaussiana e uso da simetria:
- Como a esfera condutora é simétrica por rotação e estamos calculando
no exterior a uma distância radial , a escolha natural é uma esfera imaginária concêntrica de raio . - Nessa superfície gaussiana, por simetria, o campo é radial e tem o mesmo módulo em todos os pontos da superfície; chamamos esse módulo de
. - Elemento de área da esfera gaussiana:
. A área total da esfera de raio é .
Portanto o fluxo é simplesmente
Passo 4
Aplicando a Lei de Gauss com a superfície escolhida:
- O termo
é a carga total presente na esfera condutora (toda a carga está na superfície de raio ), chamemos essa carga total de .
Substituindo na lei de Gauss:
Isolando
obtemos a expressão clássica (para
):
Interpretação física: para pontos fora de uma esfera condutora carregada, o campo elétrico é igual ao de uma carga pontual
colocada no centro da esfera.
Passo 5
Relacionando
com a densidade fornecida
:
O enunciado menciona “densidade linear ”, mas para uma esfera condutora é mais natural usar densidade superficial
(unidade
) ou a carga total
. Há duas formas de proceder dependendo da intenção do enunciado:
O enunciado menciona “densidade linear
-
Caso o enunciado queira a resposta em termos da carga total
: usamos diretamente a expressão encontrada acima. -
Caso o que se chamou de
na verdade seja a densidade superficial de carga (isto é, foi usado no lugar de ), então a carga total é
pois a área da superfície esférica é
. Substituindo em
obtemos
Observação sobre a unidade: nessa última expressão
tem unidade de carga por área (
). Se realmente
for densidade linear (
), é preciso saber sobre qual comprimento essa densidade foi definida para obter
; sem essa informação não dá para expressar
em termos de
.
Resposta
Se
for a densidade superficial (isto é,
), então