1. As superficies x+y-z-2 w=1 e x-y+z+w=2 têm como interseção um conjunto A subset R^4. Determine o ponto de A, mais próximo da origem.

Passo 1

O enunciado nos pede para determinar o ponto de AsubsetR^4, interseção das superfícies
x+y-z-2w=1
e
x-y+z+w=2
mais próximo da origem. Vamos usar multiplicadores de Lagrange para minimizar a função distância ao quadrado em R^4 sujeita a essas duas restrições lineares.

Passo 2

Definimos a função objetivo
f(x,y,z,w)=x^2+y^2+z^2+w^2
e as restrições
g1(x,y,z,w)=x+y-z-2w-1=0, g2(x,y,z,w)=x-y+z+w-2=0
Construímos o Lagrangiano
L = x^2+y^2+z^2+w^2 ;-;lambda,(x+y-z-2w-1);-;mu,(x-y+z+w-2)

Passo 3

As condições de primeira ordem nabla L=0 geram as equações
2x - lambda - mu = 0
2y - lambda + mu = 0
2z + lambda - mu = 0
2w + 2lambda - mu = 0
e mantemos as restrições
x+y-z-2w=1, x-y+z+w=2

Passo 4

Das quatro primeiras equações isolamos x,y,z,w em função de lambda,mu:
x = lambda+mu2, y = lambda-mu2, z = -lambda+mu2, w = -2lambda+mu2

Passo 5

Substituindo essas expressões nas restrições obtemos o sistema
7lambda - 3mu = 2,
-3lambda + 4mu = 4

Passo 6

Resolvendo esse sistema encontramos
lambda = 2019, mu = 3419

Passo 7

Finalmente, voltando em x,y,z,w, resulta
x = 2719, y = -719, z = 719, w = -319

Resposta

O ponto de A mais próximo da origem é l(tfrac2719,-tfrac719,tfrac719,-tfrac319r).

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