Um supermercado precisa encomendar 1.200 caixas de um determinado produto para atender as vendas do próximo ano. Cada encomenda tem um custo fixo de 75,00 \mathrm{e} x é4 x én n=1.200 / x C(x)$ das encomendas é dado por
Pode-se mostrar que o número que minimiza o custo é aquele para o qual a derivada se anula.
a) Com base nos valores de e , justifique a afirmação de que o ponto que minimiza o custo é tal que .
b) Use a definição para calcular, separadamente, as derivadas das funções e .
c) Use o item anterior para calcular a derivada .
d) Usando as informações anteriores, determine o valor de .

Passo 1

O enunciado dá a função de custo anual
C(x)=4x+90.000x,
onde x é o tamanho de cada encomenda (caixas por pedido). O objetivo é encontrar x0>0 que minimiza C(x). O conteúdo principal aqui é derivada de funções e ponto crítico para otimização.

Passo 2

Vamos calcular C(1), C(100) e C(1.200):
C(1)=4cdot1+90.0001=4+90.000=90.004,
C(100)=4cdot100+90.000100=400+900=1.300,
C(1.200)=4cdot1.200+90.0001.200=4.800+75=4.875
Como C(100)=1.300 é menor que C(1)=90.004 e que C(1.200)=4.875, segue que o mínimo não está em x=1 nem em x=1.200, mas sim em algum ponto x0 com 1<x0<1.200.

Passo 3

Escrevemos C(x)=f(x)+g(x) com
f(x)=4x, g(x)=90.000x
Pela definição de derivada,
f'(x)=ddx(4x)=4,
g'(x)=ddxl(90.000,x^-1r) =90.000cdot(-1),x^-2 =-90.000x^2

Passo 4

Somando as derivadas de f e g, obtemos
C'(x)=f'(x)+g'(x) =4-90.000x^2

Passo 5

Para obter o ponto crítico, igualamos C'(x)=0:
4-90.000x^2=0 Longrightarrow 90.000x^2=4 Longrightarrow x^2=90.0004=22.500 Longrightarrow x0=raiz22.500=150

Resposta

O valor que minimiza o custo é x0=150.

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