Um supermercado precisa encomendar 1.200 caixas de um determinado produto para atender as vendas do próximo ano. Cada encomenda tem um custo fixo de
75,00 \mathrm{e}
x
4 x
n
n=1.200 / x
C(x)$ das encomendas é dado por
Pode-se mostrar que o número
que minimiza o custo
é aquele para o qual a derivada
se anula.
a) Com base nos valores de
e
, justifique a afirmação de que o ponto
que minimiza o custo é tal que
.
b) Use a definição para calcular, separadamente, as derivadas das funções
e
.
c) Use o item anterior para calcular a derivada
.
d) Usando as informações anteriores, determine o valor de
.
a) Com base nos valores de
b) Use a definição para calcular, separadamente, as derivadas das funções
c) Use o item anterior para calcular a derivada
d) Usando as informações anteriores, determine o valor de
Passo 1
O enunciado dá a função de custo anual
onde
é o tamanho de cada encomenda (caixas por pedido). O objetivo é encontrar
que minimiza
. O conteúdo principal aqui é derivada de funções e ponto crítico para otimização.
Passo 2
Vamos calcular
,
e
:
Como
é menor que
e que
, segue que o mínimo não está em
nem em
, mas sim em algum ponto
com
.
Passo 3
Escrevemos
com
Pela definição de derivada,
Passo 4
Somando as derivadas de
e
, obtemos
Passo 5
Para obter o ponto crítico, igualamos
:
Resposta
O valor que minimiza o custo é
.