Calcule a derivada direcional da função dada no ponto e direção dados.
f(x, y)=e^x cos y em ( 0,0 ) na direção que faz um ângulo de 60^0 com o eixo O x.

Passo 1

O enunciado pede a derivada direcional de f(x,y)=e^xcos y no ponto (0,0) na direção que forma um ângulo de 60^circ com o eixo Ox. Vamos usar a definição de derivada direcional via gradiente:
D uf(p) = nabla f(p)cdot u,
onde u é o vetor unitário da direção desejada.

Passo 2

O vetor unitário que faz 60^circ com o eixo Ox é
u = (cos 60^circ,;sin 60^circ) = l(tfrac12,;tfracraiz32r)

Passo 3

Calculamos o gradiente de f:
nabla f(x,y) =l(partialpartial xe^xcos y,;partialpartial ye^xcos yr) =l(e^xcos y,;-,e^xsin yr)

Passo 4

Avaliamo-lo em (0,0):
nabla f(0,0) = l(e^0cos0,;-e^0sin0r) = (1,0)

Passo 5

Finalmente, a derivada direcional é o produto escalar
D uf(0,0) = nabla f(0,0)cdot u = (1,0)cdotl(tfrac12,tfracraiz32r) = tfrac12

Resposta

tfrac12

Exercícios relacionados