Um jogador costuma acertar 80 \% de suas tentativas de lance livre no jogo de basquete. Ele nos porpôs um desafio: terá direito a 4 lances livres, e registraremos como pontuação a quantidade de cestas que ele fizer acima de dois (por exemplo, se fizer 3 cestas, registramos 1 ponto; se fizer 2 , registramos 0 pontos, se fizer, registraremos -1 ponto). Ao final pagaremos a ele um valor fixo por ponto, recebendo o mesmo valor por ponto caso a pontuação final seja negativa.
Suponha que acerta cada cesta independentemente das demais. Com isso, responda o que se pede.
a) Qual é a probabilidade desse jogador errar todas as cestas?
b) Qual é a probabilidade do jogador não pontuar?
c) Qual é a probabilidade de recebermos algo (diferente de zero)?
d) Se N é o total de cestas que o jogador acerta, escontre a função de probabilidade de N.
e) Se concordarmos em pagar R \ 100$ por ponto neste jogo, qual será o valor esperado que pagaremos (ou receberemos, se for negativo)?

Passo 1

O enunciado descreve quatro tentativas de lance livre independentes, cada uma com probabilidade de sucesso p=0,8. Definimos N como o número de acertos em 4 tentativas, logo N\sim \mathrm{Binomial}(4,0,8). A pontuação do jogo é
S = N - 2
e pagamos R$100 por ponto (positivo ou negativo). Vamos usar a distribuição binomial para responder aos itens.

Passo 2

Para errar todas as cestas, precisamos de zero acertos, isto é N=0. Pela fórmula da binomial,
P(N=0) = \binom{4}{0}(0,8)^0(0,2)^4 = (1)\cdot1\cdot(0,2)^4 = 0,2^4 = 0,0016.

Passo 3

Não pontuar significa S=0, ou seja N-2=0 N=2. Assim
P(N=2) = \binom{4}{2}(0,8)^2(0,2)^2 = 6\cdot0,64\cdot0,04 = 0,1536.

Passo 4

Receber algo diferente de zero equivale a ter S\neq0, isto é N\neq2. Então
P(N\neq2) = 1 - P(N=2) = 1 - 0,1536 = 0,8464.

Passo 5

A função de probabilidade de N é
P(N=k) = \binom{4}{k}(0,8)^k(0,2)^{4-k},\quad k=0,1,2,3,4.

Passo 6

O valor pago é 100\cdot S = 100\,(N-2). O valor esperado é
E[100\,(N-2)] = 100\bigl(E[N]-2\bigr).
Como E[N]=4\cdot0,8=3,2, tem-se
E[\text{pagamento}] = 100\,(3,2-2) = 100\cdot1,2 = 120.

Resposta

a) 0,0016
b) 0,1536
c) 0,8464
d) P(N=k)=\binom{4}{k}(0,8)^k(0,2)^{4-k},\;k=0,1,2,3,4
e) R\$120 (valor esperado pago)

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