Supõe-se que exista uma impureza em 30 % dos poços artesianos de certa comunidade rural. Para se entender melhor este problema, determinouse que alguns testes sejam realizados. Faze-los com todos os poços na área tornaria o custo muito alto, então dez poços foram escolhidos aleatoriamente para ser testados.
a) Usando a distribuição binomial, determine qual a probabilidade de que exatamente três poços tenham impurezas?
b) Usando a distribuição binomial, determine qual é a probabilidade de que mais do que três poços apresentem impurezas?

Passo 1

O enunciado diz que existe uma probabilidade de 30% de cada poço ter impureza e que foram testados 10 poços de forma aleatória. Definimos a variável aleatória X como o número de poços com impureza, e sabemos que Xsim Binomial(n=10,p=0,3). Precisamos calcular
  1. P(X=3), e
  2. P(X>3).

Passo 2

A função massa de probabilidade da distribuição binomial é
P(X=k)=binomnkp^k(1-p)^,n-k
Aqui n=10 e p=0,3.

Passo 3

Para k=3 temos
P(X=3) =binom103(0,3)^3(0,7)^7
Calculando cada parte:
binom103=120, (0,3)^3=0,027 e (0,7)^7approx 0,0823543.
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P(X=3)approx 120times0,027times0,0823543approx0,2668

Passo 4

Para P(X>3) usamos o complementar
P(X>3)=1-P(X<=3) =1-sumk=0^3P(X=k)
Já temos P(X=3). Calculando os demais termos:
P(X=0)=(0,7)^10approx0,02825,
P(X=1)=10cdot0,3cdot(0,7)^9approx0,12106,
P(X=2)=45cdot(0,3)^2cdot(0,7)^8approx0,23347
Somando P(X<=3)approx0,02825+0,12106+0,23347+0,26683=0,64961.
Então
P(X>3)approx1-0,64961=0,35039approx0,3504

Resposta

a) P(X=3)approx0,2668.
b) P(X>3)approx0,3504.

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