Foram registrados os índices de resistência (em MPa) para 88 corpos de prova de concreto:
88,5 87,7 83,4 86,7 87,5 91,5 88,6 100,3 96,5 93,3 94,7
91,1 91,0 94,2 87,8 89,9 88,3 87,6 84,3 86,7 84,3 86,7
88,2 90,8 88,3 98,8 94,2 92,7 93,2 91,0 90,1 93,4 88,5
90,1 89,2 88,3 85,3 87,9 88,6 90,9 89,0 96,1 93,3 91,8
92,3 90,4 90,1 93,0 88,7 89,9 89,8 89,6 87,4 88,4 88,9
91,2 89,3 94,4 92,7 91,8 91,6 90,4 91,1 92,6 89,8 90,6
91,1 90,4 89,3 89,7 90,3 91,6 90,5 93,7 92,7 92,2 92,2
91,2 91,0 92,2 90,0 90,7
(a) Construa a distribuição de frequência e o histograma usando 8 intervalos de classe;
(b) Construa a distribuição de frequência e o histograma usando 16 intervalos de classe;
(c) Compare os dois histogramas.

Passo 1

O enunciado nos dá n=88 medidas de resistência (em MPa) de corpos de prova de concreto. Precisamos construir duas distribuições de frequência (com seus histogramas): uma com k=8 classes e outra com k=16 classes, e depois comparar os dois histogramas.
Para isso vamos usar estes conceitos e passos gerais:
  1. Determinar o valor mínimo min x e o valor máximo max x.
  2. Calcular o alcance (variação)
R = max x - min x
  1. Definir o número de classes k e calcular a amplitude de classe
h = Rk
  1. Construir o quadro de classes [,Li,,Li + h), contar as frequências fi em cada classe e montar o histograma.

Passo 2

Calcular min x, max x e o alcance:
min x = 83,4, max x = 100,3
R = 100,3 - 83,4 = 16,9
(a) Para k=8 classes, a amplitude de classe será
h8 = 16,98 approx 2,1125
Arredondamos para h8 = 2,11 MPa para facilitar os limites.
(b) Para k=16 classes,
h16 = 16,916 approx 1,056
Arredondamos para h16=1,06 MPa.

Passo 3

Construir a tabela de frequência para k=8. Tomando como classe 1 o intervalo
[,83,4,;83,4+2,11) = [,83,4,;85,51),
e em seguida indo de 2,11 em 2,11, obtemos as 8 classes:
c|c|c Classe i & Intervalo [Li,Li+h8) & fihline 1 & [83,4,;85,51) & 4 2 & [85,51,;87,62) & 6 3 & [87,62,;89,73) & 20 4 & [89,73,;91,84) & 31 5 & [91,84,;93,95) & 14 6 & [93,95,;96,06) & 5 7 & [96,06,;98,17) & 2 8 & [98,17,;100,28] & 6hline Total & & 88
Observação: o último intervalo fechamos em “ <=100,28” para incluir o valor máximo.

Passo 4

Histograma com 8 classes
  • Eixo x: classes de largura h8=2,11.
  • Eixo y: altura proporcional à frequência fi (ou densidade fi/(n,h8)).
  • Em cada classe desenhe um retângulo de base 2,11 e altura fi.
O formato geral revela uma distribuição aproximadamente unimodal, concentrada nas classes 3 e 4.

Passo 5

Construir a tabela de frequência para k=16. Começamos em 83,4 e somamos h16=1,06 sucessivas vezes:
c|c|c Classe j & [Lj,Lj+h16) & fjhline 1 & [83,40,;84,46) & 2 2 & [84,46,;85,52) & 3 3 & [85,52,;86,58) & 5 4 & [86,58,;87,64) & 6 5 & [87,64,;88,70) & 12 6 & [88,70,;89,76) & 17 7 & [89,76,;90,82) & 14 8 & [90,82,;91,88) & 12 9 & [91,88,;92,94) & 8 10& [92,94,;94,00) & 6 11& [94,00,;95,06) & 4 12& [95,06,;96,12) & 2 13& [96,12,;97,18) & 2 14& [97,18,;98,24) & 1 15& [98,24,;99,30) & 2 16& [99,30,;100,36] & 2hline Total & & 88

Passo 6

Histograma com 16 classes
  • Agora cada barra tem largura h16=1,06.
  • As barras mais estreitas revelam detalhes: vemos picos menores e até algumas classes com frequência zero (ou muito baixa).

Passo 7

Comparação dos histogramas
  • Com 8 classes temos um retrato mais “suavizado” da distribuição: aparece claramente que a maior concentração está em torno de 88–92 MPa.
  • Com 16 classes percebemos mais variações locais, flutuações e até lacunas (classes quase vazias).
  • O histograma de 8 classes é melhor para captar a tendência geral e comunicar de forma limpa; o de 16 classes é útil quando queremos investigar detalhes ou heterogeneidades na amostra.

Resposta

(a) Distribuição em 8 classes conforme a tabela do Passo 3 e histograma de barras de largura 2,11.
(b) Distribuição em 16 classes conforme a tabela do Passo 5 e histograma de barras de largura 1,06.
(c) O histograma de 8 classes é mais suave e destaca a tendência central; o de 16 classes mostra mais detalhes e flutuações locais.

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