Trace o diagrama de Bode de magnitude e fase para o seguinte sistema de primeira ordem:
H(j omega)=40 cdot j omega+0,1j omega+40

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente traçar o diagrama de Bode de magnitude e fase para um sistema de primeira ordem com a função de transferência:
H(j omega)=40 cdot j omega+0,1j omega+40
Isso significa que vamos trabalhar com conceitos de Sistemas de Controle, especificamente analisando como a magnitude e a fase do sistema variam com a frequência omega. Para resolver isso, vamos precisar entender como se constrói um diagrama de Bode e identificar os principais parâmetros da função de transferência.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a função de transferência de uma forma que facilite a identificação dos parâmetros importantes:
H(j omega) = 40 cdot j omega + 0,1j omega + 40
Aqui, temos dois pontos chave: o ganho estático multiplicador de 40, e os termos (j omega + 0,1) e (j omega + 40) que indicam as frequências características do sistema.

Passo 3

Vamos identificar as frequências de corte. As frequências de corte são os valores de omega onde o ganho do sistema muda significativamente.
Para o numerador, temos j omega + 0,1, que indica uma frequência de corte em omega = 0,1 rad/s.
Para o denominador, temos j omega + 40, indicando uma frequência de corte em omega = 40 rad/s.
Essas frequências vão determinar onde o diagrama de Bode muda sua inclinação.

Passo 4

Agora, vamos analisar a magnitude do sistema. A magnitude em dB é dada por:
|H(j omega)|dB = 20 log10 | H(j omega) |
Vamos considerar os três casos de frequência:
  1. Baixa frequência ( omega ll 0,1 rad/s):
    • O termo j omega é muito pequeno, então H(j omega) approx 40 cdot 0,140 = 0,1.
    • Em dB: 20 log10(0,1) = -20 dB.
  2. Frequência intermediária ( 0,1 <= omega <= 40 rad/s):
    • O ganho começa a aumentar devido ao numerador e diminuir devido ao denominador.
    • A inclinação na magnitude muda por causa das frequências de corte.
  3. Alta frequência ( omega gg 40 rad/s):
    • O termo j omega domina tanto no numerador quanto no denominador.
    • H(j omega) approx 40 cdot j omegaj omega = 40.
    • Em dB: 20 log10(40) approx 32 dB.

Passo 5

Vamos agora analisar a fase do sistema. A fase phi é dada por:
phi(omega) = ang<= H(j omega) = ang<= ( j omega + 0,1 ) - ang<= ( j omega + 40 )
Calculando as fases para os mesmos três casos:
  1. Baixa frequência ( omega ll 0,1 rad/s):
    • ang<= (j omega + 0,1) approx 0^circ.
    • ang<= (j omega + 40) approx 0^circ.
    • phi approx 0^circ - 0^circ = 0^circ.
  2. Frequência intermediária ( 0,1 <= omega <= 40 rad/s):
    • A fase do numerador começa a aumentar e a do denominador a aumentar também, mas a diferença entre elas define a fase total.
    • Geralmente, a fase começa a cair devido ao efeito do denominador.
  3. Alta frequência ( omega gg 40 rad/s):
    • ang<= (j omega + 0,1) approx 90^circ.
    • ang<= (j omega + 40) approx 90^circ.
    • phi approx 90^circ - 90^circ = 0^circ.

Resposta

Com base nos passos anteriores, o diagrama de Bode para magnitude apresenta um ganho inicial de -20 dB em baixas frequências, aumentando até aproximadamente 32 dB em altas frequências, com mudanças nas inclinações nas frequências de corte em omega = 0,1 rad/s e omega = 40 rad/s. Já o diagrama de fase começa em 0^circ, varia na faixa intermediária devido às frequências de corte mencionadas e retorna a 0^circ em altas frequências.

Exercícios relacionados