Trace o diagrama de Bode de magnitude e fase para o seguinte sistema de primeira ordem:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente traçar o diagrama de Bode de magnitude e fase para um sistema de primeira ordem com a função de transferência:
Isso significa que vamos trabalhar com conceitos de Sistemas de Controle, especificamente analisando como a magnitude e a fase do sistema variam com a frequência
. Para resolver isso, vamos precisar entender como se constrói um diagrama de Bode e identificar os principais parâmetros da função de transferência.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a função de transferência de uma forma que facilite a identificação dos parâmetros importantes:
Aqui, temos dois pontos chave: o ganho estático multiplicador de 40, e os termos
e
que indicam as frequências características do sistema.
Passo 3
Vamos identificar as frequências de corte. As frequências de corte são os valores de
onde o ganho do sistema muda significativamente.
Para o numerador, temos
, que indica uma frequência de corte em
rad/s.
Para o denominador, temos
, indicando uma frequência de corte em
rad/s.
Essas frequências vão determinar onde o diagrama de Bode muda sua inclinação.
Passo 4
Agora, vamos analisar a magnitude do sistema. A magnitude em dB é dada por:
Vamos considerar os três casos de frequência:
-
Baixa frequência (
rad/s): - O termo
é muito pequeno, então . - Em dB:
dB.
- O termo
-
Frequência intermediária (
rad/s): - O ganho começa a aumentar devido ao numerador e diminuir devido ao denominador.
- A inclinação na magnitude muda por causa das frequências de corte.
-
Alta frequência (
rad/s): - O termo
domina tanto no numerador quanto no denominador. -
. - Em dB:
dB.
- O termo
Passo 5
Vamos agora analisar a fase do sistema. A fase
é dada por:
Calculando as fases para os mesmos três casos:
-
Baixa frequência (
rad/s): -
. -
. -
.
-
-
Frequência intermediária (
rad/s): - A fase do numerador começa a aumentar e a do denominador a aumentar também, mas a diferença entre elas define a fase total.
- Geralmente, a fase começa a cair devido ao efeito do denominador.
-
Alta frequência (
rad/s): -
. -
. -
.
-
Resposta
Com base nos passos anteriores, o diagrama de Bode para magnitude apresenta um ganho inicial de -20 dB em baixas frequências, aumentando até aproximadamente 32 dB em altas frequências, com mudanças nas inclinações nas frequências de corte em
rad/s e
rad/s. Já o diagrama de fase começa em
, varia na faixa intermediária devido às frequências de corte mencionadas e retorna a
em altas frequências.