Trace o diagrama de Bode de magnitude e fase para o seguinte sistema de segunda ordem:
Passo 1
A questão pede para traçar o diagrama de Bode (magnitude e fase) de um sistema de segunda ordem dado por
H(j\omega)=\frac{250}{(j\omega)^2+50,5,(j\omega)+25}
O conteúdo é análise de resposta em frequência (Bode) para sistemas lineares. Vamos precisar reescrever em forma canônica, encontrar ganho de baixo
, localizar polos e frequências de quebra e então montar as curvas assintóticas.
Passo 2
Reescrevemos a função de transferência em forma padronizada e calculamos o ganho de baixa frequência (DC). Primeiro note que em
Podemos fatorar o numerador como
, e reconhecer que
leva a:
Logo o ganho em
é
Passo 3
Determinamos os polos resolvendo
. A fórmula de Bhaskara dá
Assim
As frequências de quebra (módulos) são
rad/s e
rad/s.
Passo 4
Montamos as retas assintóticas do diagrama de magnitude em dB. Em cada região:
- Para
: nenhum polo ativo → ganho constante em dB. - Para
: um polo ativo → inclinação de –20 dB/dec. - Para
: dois polos ativos → inclinação de –40 dB/dec.
Nos pontos de quebra ajustamos as retas passando pela magnitude exata no ponto:
- Em
: continua em 20 dB. - Em
: decaiu 20 dB/decade por duas décadas (de 0,5 a 50) → 20–20·2=–20 dB; daí segue –40 dB/dec.
Passo 5
Montamos as retas assintóticas do diagrama de fase somando os contributos dos polos reais:
Cada polo real em
contribui com 0° para
, –45° em
e –90° para
, transicionando entre
e
.
- Polo em 0,5 rad/s: fase de 0° (abaixo de 0,05 rad/s) a –90° (acima de 5 rad/s).
- Polo em 50 rad/s: fase de 0° (abaixo de 5 rad/s) a –90° (acima de 500 rad/s).
Somando:
-
: fase ≈ 0°. -
: fase cai de 0° a –90° (primeiro polo). -
: fase cai de –90° a –180° (segundo polo entra). -
: fase ≈ –180°.
Passo 6
Com base nos passos anteriores, o esboço final do diagrama de Bode é:
Magnitude (dB): constante em 20 dB até 0,5 rad/s; depois declínio a –20 dB/dec até 50 rad/s; depois –40 dB/dec.
Fase (°): 0° até ~0,05 rad/s; decaindo a –90° entre 0,05 e 5 rad/s; decaindo a –180° entre 5 e 500 rad/s; saturando em –180°.
Passo 7
Apresentamos as expressões exatas para conferência, embora o esboço assintótico seja o principal:
Magnitude:
Fase:
Passo 8
O esboço assintótico serve de guia prático para o Bode. Para quem for plotar precisamente, pode usar essas expressões exatas ou ferramentas de software (MATLAB, Python etc.) para conferir.
Resposta
Diagrama de Bode (assintótico):
Magnitude (dB):
- 20 dB para ω<0,5 rad/s
- decaimento –20 dB/dec de 0,5 a 50 rad/s
- decaimento –40 dB/dec para ω>50 rad/s
Fase (°):
- 0° para ω<0,05 rad/s
- de 0° a –90° entre 0,05 e 5 rad/s
- de –90° a –180° entre 5 e 500 rad/s
- –180° para ω>500 rad/s