Trace o diagrama de Bode de magnitude e fase para o seguinte sistema de segunda ordem:
H(j omega)=250(j omega)^2+50,5(j omega)+25

Passo 1

A questão pede para traçar o diagrama de Bode (magnitude e fase) de um sistema de segunda ordem dado por
H(j\omega)=\frac{250}{(j\omega)^2+50,5,(j\omega)+25}
O conteúdo é análise de resposta em frequência (Bode) para sistemas lineares. Vamos precisar reescrever em forma canônica, encontrar ganho de baixo omega, localizar polos e frequências de quebra e então montar as curvas assintóticas.

Passo 2

Reescrevemos a função de transferência em forma padronizada e calculamos o ganho de baixa frequência (DC). Primeiro note que em s=jomega
H(s)=250s^2+50,5,s+25
Podemos fatorar o numerador como 250=10times25, e reconhecer que omegan^2=25 leva a:
H(s)=10,omegan^2s^2+2zetaomegan,s+omegan^2
Logo o ganho em omega=0 é
H(0)=25025=10(20;dB)

Passo 3

Determinamos os polos resolvendo s^2+50,5s+25=0. A fórmula de Bhaskara dá
s1,2=-50,5pmraiz50,5^2-4cdot1cdot252 =-50,5pmraiz2550,25-1002 =-50,5pm49,502
Assim
s1approx-0,5;rad/s, s2approx-50;rad/s
As frequências de quebra (módulos) são omega1=0,5 rad/s e omega2=50 rad/s.

Passo 4

Montamos as retas assintóticas do diagrama de magnitude em dB. Em cada região:
  • Para omega: nenhum polo ativo → ganho constante em 20log10(10)=20 dB.
  • Para 0,5: um polo ativo → inclinação de –20 dB/dec.
  • Para omega>50: dois polos ativos → inclinação de –40 dB/dec.
Nos pontos de quebra ajustamos as retas passando pela magnitude exata no ponto:
  • Em omega=0,5: continua em 20 dB.
  • Em omega=50: decaiu 20 dB/decade por duas décadas (de 0,5 a 50) → 20–20·2=–20 dB; daí segue –40 dB/dec.

Passo 5

Montamos as retas assintóticas do diagrama de fase somando os contributos dos polos reais:
Cada polo real em omegap contribui com 0° para omegallomegap, –45° em omega=omegap e –90° para omegaggomegap, transicionando entre omegap/10 e 10omegap.
  • Polo em 0,5 rad/s: fase de 0° (abaixo de 0,05 rad/s) a –90° (acima de 5 rad/s).
  • Polo em 50 rad/s: fase de 0° (abaixo de 5 rad/s) a –90° (acima de 500 rad/s).
Somando:
  • omega<0,05: fase ≈ 0°.
  • 0,05: fase cai de 0° a –90° (primeiro polo).
  • 5: fase cai de –90° a –180° (segundo polo entra).
  • omega>500: fase ≈ –180°.

Passo 6

Com base nos passos anteriores, o esboço final do diagrama de Bode é:
Magnitude (dB): constante em 20 dB até 0,5 rad/s; depois declínio a –20 dB/dec até 50 rad/s; depois –40 dB/dec.
Fase (°): 0° até ~0,05 rad/s; decaindo a –90° entre 0,05 e 5 rad/s; decaindo a –180° entre 5 e 500 rad/s; saturando em –180°.

Passo 7

Apresentamos as expressões exatas para conferência, embora o esboço assintótico seja o principal:
Magnitude:
20log10|H(jomega)|=20log10250-10log10l[(omega^2-25)^2+(50,5,omega)^2r]
Fase:
ang<= H(jomega)=-arctan50,5,omega25-omega^2

Passo 8

O esboço assintótico serve de guia prático para o Bode. Para quem for plotar precisamente, pode usar essas expressões exatas ou ferramentas de software (MATLAB, Python etc.) para conferir.

Resposta

Diagrama de Bode (assintótico):
Magnitude (dB):
  • 20 dB para ω<0,5 rad/s
  • decaimento –20 dB/dec de 0,5 a 50 rad/s
  • decaimento –40 dB/dec para ω>50 rad/s
Fase (°):
  • 0° para ω<0,05 rad/s
  • de 0° a –90° entre 0,05 e 5 rad/s
  • de –90° a –180° entre 5 e 500 rad/s
  • –180° para ω>500 rad/s

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