Supondo que alpha e beta são constantes, u e v são campos escalares e F e G são campos vetoriais, deduza as seguintes relações do cálculo diferencial.
j. div(u F)=nabla u cdot F+u div(F)

Passo 1

O enunciado pede para deduzir a regra do produto para a divergência: mostrar que para um campo escalar u e um campo vetorial vec F vale div(uvec F)=nabla ucdotvec F+u,div(vec F). Vamos usar definição de divergência e a regra do produto para derivadas parciais.

Passo 2

Por definição, a divergência de um campo vetorial vec G=(G1,G2,G3) é dado por
div(vec G)=partial G1partial x+partial G2partial y+partial G3partial z

Passo 3

No nosso caso, vec G=uvec F=(uF1,,uF2,,uF3). Aplicando a definição temos
div(uvec F)=partial (uF1)partial x+partial (uF2)partial y+partial (uF3)partial z

Passo 4

Agora usamos a regra do produto em cada termo:
partial (uFi)partial xi=partial upartial xiFi+upartial Fipartial xi,
para i=1,2,3. Somando os três termos:
div(uvec F)=sumi=1^3l(partial upartial xiFi+upartial Fipartial xir)

Passo 5

Separando a soma em duas partes:
div(uvec F)=sumi=1^3partial upartial xiFi+usumi=1^3partial Fipartial xi
Reconhecemos o primeiro somatório como nabla ucdotvec F e o segundo como div(vec F).

Resposta

div(uvec F)=nabla ucdotvec F+u,div(vec F)

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