Suponha que
e
sejam funções integráveis em um conjunto limitado
.
Mostre que se
em
, então
. Conclua que se
em
, então
.
Mostre que se
Passo 1
O enunciado pede para mostrar a propriedade de monotonicidade da integral tripla: primeiro que se
em
, então
, e em seguida que se
em
, então
. O conteúdo envolve definição de soma inferior (ou Riemann) e o teorema de comparação de integrais.
Passo 2
Para provar que
quando
, usamos a definição pela soma inferior. Para cada partição
de
, definimos
Passo 3
Para a segunda parte, consideramos a função
. Se
, então
em
, e pelo já provado
Resposta
Para
em
,
; e se
em
, então
.