Suponha que f e g sejam funções integráveis em um conjunto limitado B subset R^3.
Mostre que se f(x, y, z) >= 0 em B, então integral triplaB f(x, y, z) d V >= 0. Conclua que se f(x, y, z) >= g(x, y, z) em B, então integral triplaB f(x, y, z) d V >= integral triplaB g(x, y, z) d V.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar a propriedade de monotonicidade da integral tripla: primeiro que se f(x,y,z)>=0 em B, então integral triplaB f,dV>=0, e em seguida que se f(x,y,z)>= g(x,y,z) em B, então integral triplaB f,dV>=integral triplaB g,dV. O conteúdo envolve definição de soma inferior (ou Riemann) e o teorema de comparação de integrais.

Passo 2

Para provar que integral triplaB f,dV>=0 quando f>=0, usamos a definição pela soma inferior. Para cada partição P=Bii=1^n de B, definimos
L(f,P)=sumi=1^n mi,vol(Bi), onde mi=inff(x,y,z):,(x,y,z)in Bi. Como f(x,y,z)>=0 em cada Bi, temos mi>=0 e logo L(f,P)>=0 para toda partição. Tomando supremum sobre as somas inferiores,
integral triplaB f,dV=supP L(f,P)>=0

Passo 3

Para a segunda parte, consideramos a função h(x,y,z)=f(x,y,z)-g(x,y,z). Se f>= g, então h>=0 em B, e pelo já provado
integral triplaB h,dV=integral triplaB[f-g],dV=integral triplaB f,dV - integral triplaB g,dV>=0 Rearranjando, obtemos integral triplaB f,dV>=integral triplaB g,dV.

Resposta

Para f>=0 em B, integral triplaB f(x,y,z),dV>=0; e se f>= g em B, então integral triplaB f(x,y,z),dV>=integral triplaB g(x,y,z),dV.

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