Supondo que o ar atmosférico pode ser modelado como um gás ideal, qual é a relação entre a sua pressão e altitude (
) sendo que: Considere
e
e
.
a temperatura do ar pode ser considerada constante e igual a
, onde
é a temperatura do ar ao nível do mar
;
a temperatura do ar pode ser considerada constante e igual a
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
- Dados fornecidos:
-
. -
. -
. -
(pressão ao nível do mar, em ).
-
- Condição adicional (importante): a temperatura do ar é considerada constante e igual a
para todo . - O que é pedido: encontrar a relação entre a pressão
e a altitude , isto é, achar .
Observação: embora tenha sido dado o valor de
(taxa de variação da temperatura com a altitude), a hipótese do enunciado é que a temperatura é constante; portanto
não será usada na dedução que segue.
Passo 2
Entendimento físico e equação de equilíbrio hidrostático.
- A pressão varia com a altitude porque o peso do ar acima de uma camada exerce força sobre ela. Em equilíbrio hidrostático, a variação infinitesimal de pressão com a altura satisfaz:
onde:
-
é a pressão em altitude , -
é a densidade do ar na altitude , -
é a aceleração da gravidade (usa-se o valor padrão ). - Explicando em palavras: a pressão diminui para cima porque cada camada de ar suporta o peso das camadas acima; a equação acima é simplesmente força/área igual a massa por volume vezes
.
Passo 3
Usar a equação do gás ideal para relacionar
e
.
- Para ar modelado como gás ideal:
onde:
-
é a constante específica do ar ( ), -
é a temperatura absoluta (em kelvin). - Como o enunciado diz que a temperatura é constante e igual a
(no nível do mar), devemos converter para kelvin:
Passo 4
Eliminar
e obter uma equação diferencial para
.
- Da equação do gás ideal isolamos
:
- Substituindo na equação hidrostática:
- Esta é uma equação diferencial ordinária de primeira ordem, separável e linear. Reescrevendo:
Passo 5
Integrar a equação diferencial e aplicar a condição em
.
- Integramos ambos os lados entre o nível do mar (onde
e ) e uma altitude genérica (onde ):
- As integrais são elementares. No lado esquerdo obtemos
. No direito o integrando é constante, então multiplicamos por . Assim:
- Exponenciando ambos os lados:
Passo 6
Interpretar e inserir valores numéricos para obter uma forma prática.
- Definindo a altura característica (altura de escala)
como:
a fórmula fica simplesmente
- Calcular numericamente
usando , e :
- Logo, o coeficiente exponencial é
- Substituindo em
com obtemos a forma numérica prática: