Supondo que o ar atmosférico pode ser modelado como um gás ideal, qual é a relação entre a sua pressão e altitude ( z ) sendo que: Considere T_{0}= 15^{\circ} \mathrm{C} e B=0.003566 \mathrm{~K} / \mathrm{m}, R_{a r}=287,05 \mathrm{~J} /(\mathrm{kgK}) e p_{a t m}=101325 \mathrm{~Pa}.
a temperatura do ar pode ser considerada constante e igual a T_{0}, onde T_{0} é a temperatura do ar ao nível do mar (z=0);

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dados fornecidos:
    • T_{0}=15^\circ\mathrm{C}.
    • B=0{,}003566\\ \mathrm{K/m}.
    • R_{ar}=287{,}05\\ \mathrm{J/(kg\\ K)}.
    • p_{atm}=101325\\ \mathrm{Pa} (pressão ao nível do mar, em z=0).
  • Condição adicional (importante): a temperatura do ar é considerada constante e igual a T_{0} para todo z.
  • O que é pedido: encontrar a relação entre a pressão p e a altitude z, isto é, achar p(z).
Observação: embora tenha sido dado o valor de B (taxa de variação da temperatura com a altitude), a hipótese do enunciado é que a temperatura é constante; portanto B não será usada na dedução que segue.

Passo 2

Entendimento físico e equação de equilíbrio hidrostático.
  • A pressão varia com a altitude porque o peso do ar acima de uma camada exerce força sobre ela. Em equilíbrio hidrostático, a variação infinitesimal de pressão com a altura satisfaz:
\frac{dp}{dz} = -\rho(z)\,g,
onde:
  • p=p(z) é a pressão em altitude z,
  • \rho(z) é a densidade do ar na altitude z,
  • g é a aceleração da gravidade (usa-se o valor padrão \,g=9{,}80665\\ \mathrm{m/s^{2}}\,).
  • Explicando em palavras: a pressão diminui para cima porque cada camada de ar suporta o peso das camadas acima; a equação acima é simplesmente força/área igual a massa por volume vezes g.

Passo 3

Usar a equação do gás ideal para relacionar p e \rho.
  • Para ar modelado como gás ideal:
p = \rho\,R_{ar}\,T,
onde:
  • R_{ar} é a constante específica do ar ( 287{,}05\\ \mathrm{J/(kg\\ K)}),
  • T é a temperatura absoluta (em kelvin).
  • Como o enunciado diz que a temperatura é constante e igual a T_{0} (no nível do mar), devemos converter T_{0} para kelvin:
T_{0}=15^\circ\mathrm{C}=15+273{,}15=288{,}15\\ \mathrm{K}.

Passo 4

Eliminar \rho e obter uma equação diferencial para p(z).
  • Da equação do gás ideal isolamos \rho:
\rho = \frac{p}{R_{ar}\,T_{0}}.
  • Substituindo na equação hidrostática:
\frac{dp}{dz} = -\frac{p}{R_{ar}\,T_{0}}\,g.
  • Esta é uma equação diferencial ordinária de primeira ordem, separável e linear. Reescrevendo:
\frac{1}{p}\,dp = -\frac{g}{R_{ar}\,T_{0}}\,dz.

Passo 5

Integrar a equação diferencial e aplicar a condição em z=0.
  • Integramos ambos os lados entre o nível do mar (onde z=0 e p=p_{atm}) e uma altitude genérica z (onde p=p(z)):
\int_{p_{atm}}^{p(z)} \frac{1}{p}\,dp = -\int_{0}^{z} \frac{g}{R_{ar}\,T_{0}}\,dz.
  • As integrais são elementares. No lado esquerdo obtemos \ln\!\big(\dfrac{p(z)}{p_{atm}}\big). No direito o integrando é constante, então multiplicamos por z. Assim:
\ln\!\left(\frac{p(z)}{p_{atm}}\right) = -\frac{g}{R_{ar}\,T_{0}}\,z.
  • Exponenciando ambos os lados:
p(z)=p_{atm}\,\exp\!\left(-\frac{g\,z}{R_{ar}\,T_{0}}\right).

Passo 6

Interpretar e inserir valores numéricos para obter uma forma prática.
  • Definindo a altura característica (altura de escala) H como:
H=\frac{R_{ar}\,T_{0}}{g},
a fórmula fica simplesmente
p(z)=p_{atm}\,\exp\!\left(-\frac{z}{H}\right).
  • Calcular numericamente H usando R_{ar}=287{,}05\\ \mathrm{J/(kg\\ K)}, T_{0}=288{,}15\\ \mathrm{K} e g=9{,}80665\\ \mathrm{m/s^{2}}:
R_{ar}\,T_{0}=287{,}05\cdot 288{,}15 \approx 82713{,}46\\ \mathrm{(J/kg)},
H=\frac{82713{,}46}{9{,}80665}\approx 8434{,}4\\ \mathrm{m}.
  • Logo, o coeficiente exponencial é
\frac{g}{R_{ar}\,T_{0}}=\frac{1}{H}\approx 1{,}1862\times 10^{-4}\\ \mathrm{m^{-1}}.
  • Substituindo em p(z) com p_{atm}=101325\\ \mathrm{Pa} obtemos a forma numérica prática:
p(z)\approx 101325\\ \exp\!\big(-1{,}1862\times 10^{-4}\\ z\big)\\ \mathrm{Pa}.

Resposta

p(z)=p_{atm}\,\exp\!\left(-\frac{g\,z}{R_{ar}\,T_{0}}\right)
p(z)\approx 101325\\ \exp\!\big(-1{,}1862\times 10^{-4}\\ z\big)\\ \mathrm{Pa}

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