Para cada uma das condições de fluxo em tubo de seção circular descritas na tabela a seguir, determine o valor do fator de atrito. Preencha as colunas amarelas da tabela. Use os valores de propriedades que empregamos em exemplos anteriores em aula ou obtenha-os de alguma fonte confiável.
Condição Fluido Vazão (l/s) Material do tubo Diâmetro do tubo \boldsymbol{\varepsilon} \boldsymbol{/} \mathbf{D} Re \boldsymbol{f}
01 Água 2,5 Aço comercial 3"
02 Água 1,8 Cobre 50 mm
03 Óleo SAE15W40 0,5 Cobre 20 mm
04 Ar 15 PVC 15 mm
05 Ar 35 Ferro galvanizado 50 mm

Passo 1

O enunciado fornece uma tabela com cinco condições de escoamento em tubo circular. Para cada linha temos os seguintes dados (peguei todos estes dados do enunciado):
  • Condição 01: fluido = Água; vazão Q=2{,}5\\ \text{L/s}; tubo = Aço comercial; diâmetro D=3''.
  • Condição 02: fluido = Água; vazão Q=1{,}8\\ \text{L/s}; tubo = Cobre; diâmetro D=50\\ \text{mm}.
  • Condição 03: fluido = Óleo SAE15W40; vazão Q=0{,}5\\ \text{L/s}; tubo = Cobre; diâmetro D=20\\ \text{mm}.
  • Condição 04: fluido = Ar; vazão Q=15\\ \text{L/s}; tubo = PVC; diâmetro D=15\\ \text{mm}.
  • Condição 05: fluido = Ar; vazão Q=35\\ \text{L/s}; tubo = Ferro galvanizado; diâmetro D=50\\ \text{mm}.
O que se pede (colunas amarelas da tabela): calcular para cada condição
  • a razão de rugosidade relativa \varepsilon/D,
  • o número de Reynolds \text{Re},
  • o fator de atrito f (fator de Darcy/Weisbach).
Vou agora mostrar as fórmulas que uso e os valores de propriedades escolhidos antes de calcular cada linha.

Passo 2

Conceitos e fórmulas que vamos usar (explicação didática e sem pular etapas).
  1. Área da seção do tubo e velocidade média:
A=\frac{\pi D^{2}}{4},\qquad U=\frac{Q}{A}=\frac{4Q}{\pi D^{2}}.
Aqui Q é a vazão volumétrica (m³/s), D o diâmetro (m), A a área (m²) e U a velocidade média (m/s).
  1. Número de Reynolds:
\text{Re}=\frac{U D}{\nu}=\frac{4Q}{\pi D \nu},
onde \nu é a viscosidade cinemática do fluido (m²/s). Esse número indica se o escoamento é laminar ou turbulento. Regra usual: escoamento laminar se \text{Re}<2300; turbulento se \text{Re}\gtrsim4000; região de transição entre os dois.
  1. Fator de atrito f:
  • Para escoamento laminar em tubo circular vale a fórmula de Hagen–Poiseuille (Darcy):
f=\frac{64}{\text{Re}}.
Essa fórmula é direta e independente da rugosidade.
  • Para escoamento turbulento em regime totalmente turbulento ou geral, usamos a equação de Colebrook (implícita). Para resolver sem iteração eu uso a fórmula explícita de Swamee–Jain (boa aproximação prática):
f=\frac{0{,}25}{\left[\log_{10}\!\left(\frac{\varepsilon/D}{3{,}7}+\frac{5{,}74}{\text{Re}^{0{,}9}}\right)\right]^{2}},
onde \varepsilon é a rugosidade absoluta do material (m). Na fórmula, f é o fator de Darcy (mesmo usado na equação de perda de carga de Darcy–Weisbach). Vou aplicar Swamee–Jain sempre que \text{Re} indicar regime turbulento.
  1. Razão de rugosidade relativa:
\frac{\varepsilon}{D}=\frac{\text{rugosidade absoluta } \varepsilon\\ (\text{m})}{D\\ (\text{m})}.
Nas condições laminares o valor de \varepsilon não entra na fórmula de f, mas calculo \varepsilon/D sempre para completar a tabela.

Passo 3

Valores de propriedades e rugosidades adotados (valores típicos de tabela / literatura — justificativa: valores padrão usados em problemas de escoamento em tubos):
  • Propriedades:
    • Água a 20^\circ\text{C}: densidade \rho=998\\ \text{kg/m}^3, viscosidade dinâmica \mu=1{,}002\times10^{-3}\\ \text{Pa·s} ⇒ viscosidade cinemática \nu=\dfrac{\mu}{\rho}=1{,}004\times10^{-6}\\ \text{m}^2/\text{s}.
    • Ar a 20^\circ\text{C}: densidade \rho=1{,}204\\ \text{kg/m}^3, viscosidade dinâmica \mu=1{,}81\times10^{-5}\\ \text{Pa·s} \nu=\dfrac{\mu}{\rho}=1{,}503\times10^{-5}\\ \text{m}^2/\text{s}.
    • Óleo SAE15W40 (aprox. a 40^\circ\text{C}, valor típico): densidade \rho\approx870\\ \text{kg/m}^3, viscosidade cinemática \nu\approx110\times10^{-6}\\ \text{m}^2/\text{s} (ou 110\\ \text{cSt}), logo \mu=\rho\nu\approx0{,}096\\ \text{Pa·s}. Para número de Reynolds basta \nu=1{,}10\times10^{-4}\\ \text{m}^2/\text{s}.
  • Rugosidades absolutas \varepsilon típicas (tabeladas):
    • Aço comercial: \varepsilon=0{,}045\\ \text{mm}=4{,}5\times10^{-5}\\ \text{m}.
    • Cobre: \varepsilon=0{,}0015\\ \text{mm}=1{,}5\times10^{-6}\\ \text{m}.
    • PVC (liso): \varepsilon=0{,}0015\\ \text{mm}=1{,}5\times10^{-6}\\ \text{m}.
    • Ferro galvanizado: \varepsilon=0{,}15\\ \text{mm}=1{,}5\times10^{-4}\\ \text{m}.
  • Conversões que vou usar:
    1\\ \text{L/s}=10^{-3}\\ \text{m}^3/\text{s},\qquad 1''=25{,}4\\ \text{mm}.
Agora aplico passo a passo para cada condição (conversões, cálculo de \varepsilon/D, \text{Re} e f).

Passo 4

Condição 01 (Água, Q=2{,}5\\ \text{L/s}, Aço comercial, D=3'') — cálculos passo a passo.
  1. Conversões:
Q=2{,}5\\ \text{L/s}=2{,}5\times10^{-3}\\ \text{m}^3/\text{s}, \qquad D=3''=3\times25{,}4\\ \text{mm}=76{,}2\\ \text{mm}=0{,}0762\\ \text{m}.
  1. razão de rugosidade relativa:
\varepsilon=4{,}5\times10^{-5}\\ \text{m}\quad\Rightarrow\quad \frac{\varepsilon}{D}=\frac{4{,}5\times10^{-5}}{0{,}0762}=5{,}9\times10^{-4}.
  1. número de Reynolds usando \nu_{\text{água}}=1{,}004\times10^{-6}\\ \text{m}^2/\text{s}á:
\text{Re}=\frac{4Q}{\pi D \nu}=\frac{4\cdot(2{,}5\times10^{-3})}{\pi\cdot0{,}0762\cdot1{,}004\times10^{-6}}.
Calculemos numericamente:
\text{Re}\approx\frac{0{,}01}{3{,}1416\cdot0{,}0762\cdot1{,}004\times10^{-6}} \approx 4,16\times10^{4}.
Como \text{Re}\approx4,16\times10^{4}, o escoamento é turbulento.
  1. fator de atrito (uso Swamee–Jain):
f=\frac{0{,}25}{\left[\log_{10}\!\left(\frac{\varepsilon/D}{3{,}7}+\frac{5{,}74}{\text{Re}^{0{,}9}}\right)\right]^{2}}.
Substituindo os valores:
\frac{\varepsilon/D}{3{,}7}=\frac{5{,}9\times10^{-4}}{3{,}7}\approx1{,}6\times10^{-4}, \quad \frac{5{,}74}{\text{Re}^{0{,}9}}\approx\frac{5{,}74}{(4{,}16\times10^{4})^{0{,}9}}\approx3{,}99\times10^{-4}.
Soma dentro do logaritmo \approx5{,}59\times10^{-4}. Logo
f\approx\frac{0{,}25}{\big[\log_{10}(5{,}59\times10^{-4})\big]^{2}} \approx0{,}0236.

Passo 5

Condição 02 (Água, Q=1{,}8\\ \text{L/s}, Cobre, D=50\\ \text{mm}) — cálculos.
  1. Conversões:
Q=1{,}8\times10^{-3}\\ \text{m}^3/\text{s},\qquad D=50\\ \text{mm}=0{,}05\\ \text{m}.
  1. razão de rugosidade:
\varepsilon=1{,}5\times10^{-6}\\ \text{m}\quad\Rightarrow\quad \frac{\varepsilon}{D}=\frac{1{,}5\times10^{-6}}{0{,}05}=3{,}0\times10^{-5}.
  1. Reynolds ( \nu_{\text{água}}=1{,}004\times10^{-6}\\ \text{m}^2/\text{s}á):
\text{Re}=\frac{4\cdot1{,}8\times10^{-3}}{\pi\cdot0{,}05\cdot1{,}004\times10^{-6}} \approx4{,}57\times10^{4}.
Escoamento turbulento.
  1. Swamee–Jain:
\frac{\varepsilon/D}{3{,}7}\approx\frac{3{,}0\times10^{-5}}{3{,}7}=8{,}11\times10^{-6}, \quad \frac{5{,}74}{\text{Re}^{0{,}9}}\approx3{,}66\times10^{-4},
soma \approx3{,}74\times10^{-4}. Logo
f\approx\frac{0{,}25}{\big[\log_{10}(3{,}74\times10^{-4})\big]^{2}}\approx0{,}0213.

Passo 6

Condição 03 (Óleo SAE15W40, Q=0{,}5\\ \text{L/s}, Cobre, D=20\\ \text{mm}) — cálculos.
  1. Conversões:
Q=0{,}5\times10^{-3}\\ \text{m}^3/\text{s},\qquad D=20\\ \text{mm}=0{,}02\\ \text{m}.
  1. razão de rugosidade:
\varepsilon=1{,}5\times10^{-6}\\ \text{m}\quad\Rightarrow\quad \frac{\varepsilon}{D}=\frac{1{,}5\times10^{-6}}{0{,}02}=7{,}5\times10^{-5}.
  1. Reynolds usando \nu_{\text{óleo}}=1{,}10\times10^{-4}\\ \text{m}^2/\text{s}ó:
\text{Re}=\frac{4\cdot0{,}5\times10^{-3}}{\pi\cdot0{,}02\cdot1{,}10\times10^{-4}} \approx2{,}90\times10^{2}.
Como \text{Re}\approx2,90\times10^{2}<2300, o escoamento é laminar.
  1. fator de atrito (laminar):
f=\frac{64}{\text{Re}}=\frac{64}{2{,}90\times10^{2}}\approx0{,}221.
Observação: em regime laminar f independe da rugosidade.

Passo 7

Condição 04 (Ar, Q=15\\ \text{L/s}, PVC, D=15\\ \text{mm}) — cálculos.
  1. Conversões:
Q=15\times10^{-3}\\ \text{m}^3/\text{s}=0{,}015\\ \text{m}^3/\text{s}, \qquad D=15\\ \text{mm}=0{,}015\\ \text{m}.
  1. razão de rugosidade:
\varepsilon=1{,}5\times10^{-6}\\ \text{m}\quad\Rightarrow\quad \frac{\varepsilon}{D}=\frac{1{,}5\times10^{-6}}{0{,}015}=1{,}0\times10^{-4}.
  1. Reynolds com \nu_{\text{ar}}=1{,}503\times10^{-5}\\ \text{m}^2/\text{s}:
\text{Re}=\frac{4\cdot0{,}015}{\pi\cdot0{,}015\cdot1{,}503\times10^{-5}} \approx8{,}47\times10^{4}.
Escoamento turbulento.
  1. Swamee–Jain:
\frac{\varepsilon/D}{3{,}7}\approx\frac{1{,}0\times10^{-4}}{3{,}7}=2{,}70\times10^{-5}, \quad \frac{5{,}74}{\text{Re}^{0{,}9}}\approx2{,}11\times10^{-4},
soma \approx2{,}38\times10^{-4}. Assim
f\approx\frac{0{,}25}{\big[\log_{10}(2{,}38\times10^{-4})\big]^{2}}\approx0{,}0191.

Passo 8

Condição 05 (Ar, Q=35\\ \text{L/s}, Ferro galvanizado, D=50\\ \text{mm}) — cálculos.
  1. Conversões:
Q=35\times10^{-3}\\ \text{m}^3/\text{s}=0{,}035\\ \text{m}^3/\text{s}, \qquad D=50\\ \text{mm}=0{,}05\\ \text{m}.
  1. razão de rugosidade:
\varepsilon=1{,}5\times10^{-4}\\ \text{m}\quad\Rightarrow\quad \frac{\varepsilon}{D}=\frac{1{,}5\times10^{-4}}{0{,}05}=3{,}0\times10^{-3}.
  1. Reynolds com \nu_{\text{ar}}=1{,}503\times10^{-5}\\ \text{m}^2/\text{s}:
\text{Re}=\frac{4\cdot0{,}035}{\pi\cdot0{,}05\cdot1{,}503\times10^{-5}} \approx5{,}93\times10^{4}.
Escoamento turbulento.
  1. Swamee–Jain:
\frac{\varepsilon/D}{3{,}7}=\frac{3{,}0\times10^{-3}}{3{,}7}\approx8{,}11\times10^{-4}, \quad \frac{5{,}74}{\text{Re}^{0{,}9}}\approx1{,}18\times10^{-4},
soma \approx9{,}29\times10^{-4}. Logo
f\approx\frac{0{,}25}{\big[\log_{10}(9{,}29\times10^{-4})\big]^{2}} \approx0{,}0272.

Resposta

01: \dfrac{\varepsilon}{D}=5{,}9\times10^{-4},\\ \text{Re}=4{,}16\times10^{4},\\ f\approx0{,}0236
02: \dfrac{\varepsilon}{D}=3{,}0\times10^{-5},\\ \text{Re}=4{,}57\times10^{4},\\ f\approx0{,}0213
03: \dfrac{\varepsilon}{D}=7{,}5\times10^{-5},\\ \text{Re}=2{,}90\times10^{2},\\ f\approx0{,}221
04: \dfrac{\varepsilon}{D}=1{,}0\times10^{-4},\\ \text{Re}=8{,}47\times10^{4},\\ f\approx0{,}0191
05: \dfrac{\varepsilon}{D}=3{,}0\times10^{-3},\\ \text{Re}=5{,}93\times10^{4},\\ f\approx0{,}0272

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