Supondo o desenvolvimento ordenado segundo as potências crescentes da primeira parcela, determine o quinto termo do desenvolvimento de
Passo 1
O enunciado fornece a expressão
e pede o quinto termo do desenvolvimento quando este é ordenado segundo as potências crescentes da primeira parcela.
Informações dadas:
Informações dadas:
- Primeira parcela:
. - Segunda parcela:
. - Expoente:
.
O que se pede: o quinto termo da expansão ordenada por potências crescentes de(ou seja, começa por , depois , ···).
Passo 2
Vamos usar o Teorema do Binômio (binomial). Ele diz que, para inteiros
e números
,
Aqui:
-
é o expoente total (aqui ); - o índice
varia de a e indica a potência de ; -
é o coeficiente binomial; - o termo geral correspondente a um
é .
Passo 3
Aplicando com
,
e
, o termo geral (usando o índice
que conta a potência de
) é
Passo 4
Precisamos ordenar os termos segundo as potências crescentes de
; isso significa listar primeiro o termo com
, depois o com
, e assim por diante até
. Na fórmula acima a potência de
é
. Portanto:
- potência de
igual a corresponde a , ou seja .
Enumerando por potências decrescentes, o quinto termo corresponde a (pois a sequência de é ), logo .
Passo 5
Calcular
. Primeiro o coeficiente binomial:
Agora as potências:
Multiplicando tudo:
Calcule o produto numérico:
. Portanto