Supondo o desenvolvimento ordenado segundo as potências crescentes da primeira parcela, determine o quinto termo do desenvolvimento de
\left(2 x-\frac{1}{x^{2}}\right)^{7}

Passo 1

O enunciado fornece a expressão \left(2x-\dfrac{1}{x^{2}}\right)^{7} e pede o quinto termo do desenvolvimento quando este é ordenado segundo as potências crescentes da primeira parcela.
Informações dadas:
  • Primeira parcela: 2x.
  • Segunda parcela: -\dfrac{1}{x^{2}}.
  • Expoente: 7.
    O que se pede: o quinto termo da expansão ordenada por potências crescentes de 2x (ou seja, começa por (2x)^{0}, depois (2x)^{1}, ···).

Passo 2

Vamos usar o Teorema do Binômio (binomial). Ele diz que, para inteiros n\ge0 e números a,b,
(a+b)^n=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}a^{\,n-k}b^{\,k}.
Aqui:
  • n é o expoente total (aqui n=7);
  • o índice k varia de 0 a n e indica a potência de b;
  • \binom{n}{k}=\dfrac{n!}{k!(n-k)!} é o coeficiente binomial;
  • o termo geral correspondente a um k é \binom{n}{k}a^{\,n-k}b^{\,k}.

Passo 3

Aplicando com a=2x, b=-\dfrac{1}{x^{2}} e n=7, o termo geral (usando o índice k que conta a potência de b) é
T(k)=\binom{7}{k}(2x)^{\,7-k}\left(-\frac{1}{x^{2}}\right)^{\!k},\qquad k=0,1,\dots,7.

Passo 4

Precisamos ordenar os termos segundo as potências crescentes de 2x; isso significa listar primeiro o termo com (2x)^{0}, depois o com (2x)^{1}, e assim por diante até (2x)^{7}. Na fórmula acima a potência de 2x é 7-k. Portanto:
  • potência de 2x igual a m corresponde a 7-k=m, ou seja k=7-m.
    Enumerando por potências de 2x crescentes, o quinto termo corresponde a m=4 (pois a sequência de m é 0,1,2,3,4,\dots), logo k=7-4=3.

Passo 5

Calcular T(3). Primeiro o coeficiente binomial:
\binom{7}{3}=\frac{7\cdot6\cdot5}{3\cdot2\cdot1}=35.
Agora as potências:
(2x)^{7-3}=(2x)^{4}=16x^{4}, \qquad \left(-\frac{1}{x^{2}}\right)^{3}=(-1)^{3}x^{-6}=-x^{-6}.
Multiplicando tudo:
T(3)=35\cdot 16x^{4}\cdot(-x^{-6})=35\cdot 16\cdot(-1)\,x^{4-6}.
Calcule o produto numérico: 35\cdot16=560. Portanto
T(3)=-560\,x^{-2}.

Resposta

-560 x^{-2}

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