(Questão 3-2,5 \mathrm{pts} ) Determine o volume e a massa especifica de um objeto que quando imerso em água ( d=1 ) pesa 4 N , e quando imerso em óleo ( d=0,8 ) pesa 5 N .

Passo 1

O enunciado dá o seguinte (vou listar direitinho o que temos e o que pedem):
  • Quando o objeto está totalmente imerso em água (com d=1) seu peso aparente é 4\\ \mathrm{N}.
  • Quando o objeto está totalmente imerso em óleo (com d=0,8) seu peso aparente é 5\\ \mathrm{N}.
    O que pedem:
  • O volume do objeto V.
  • A massa específica (densidade) do objeto \rho.
Observação necessária (assunção padrão): vou tomar a massa específica da água como \rho_{\text{água}}=1000\\ \mathrm{kg/m^3}á e a aceleração da gravidade como g=9,8\\ \mathrm{m/s^2}. Se sua prova usar outros valores (por exemplo g=10), faça o mesmo procedimento trocando esses números.

Passo 2

Conceito físico que vamos usar (Arquímedes): a força de empuxo B sobre um corpo totalmente imerso num fluido é
B=\rho_{\text{fluido}}\;V\;g,
onde:
  • \rho_{\text{fluido}} é a massa específica do fluido ( \mathrm{kg/m^3}),
  • V é o volume do objeto ( \mathrm{m^3}),
  • g é a aceleração da gravidade ( \mathrm{m/s^2}).
Explicação rápida: o empuxo é igual ao peso do volume de fluido deslocado; por isso aparece \rho_{\text{fluido}} V g.

Passo 3

Equações para os pesos aparentes (definição): se o peso verdadeiro do objeto é W=mg, o peso aparente P num fluido vale
P = W - B.
Aplicando aos dois casos:
  • Em água:
4 = W - B_{\text{água}}.á
  • Em óleo:
5 = W - B_{\text{óleo}}.ó
Aqui B_{\text{água}}=\rho_{\text{água}} V gáá e, como o óleo tem d=0,8 relativo à água,
B_{\text{óleo}}=0,8\,\rho_{\text{água}}\,V\,g.óá

Passo 4

Eliminar W subtraindo as duas equações para obter uma relação só com V:
(4)-(5) = (W - B_{\text{água}}) - (W - B_{\text{óleo}}).áó
No lado direito os W cancelam, ficando
-1 = -B_{\text{água}} + B_{\text{óleo}} = -(B_{\text{água}}-B_{\text{óleo}}).áóáó
Logo
B_{\text{água}}-B_{\text{óleo}} = 1\\ \mathrm{N}.áó
Substituindo as expressões dos empuxos:
\rho_{\text{água}} V g - 0,8\,\rho_{\text{água}} V g = 1.áá
Fatorando:
0,2\,\rho_{\text{água}}\,V\,g = 1.á

Passo 5

Resolver para V:
V = \frac{1}{0,2\,\rho_{\text{água}}\,g}.á
Substituindo \rho_{\text{água}}=1000\\ \mathrm{kg/m^3}á e g=9,8\\ \mathrm{m/s^2}:
V = \frac{1}{0,2\cdot 1000\cdot 9,8} = \frac{1}{1960}\\ \mathrm{m^3}.
Calculando:
V \approx 0,000510204\\ \mathrm{m^3} \approx 5,10\times 10^{-4}\\ \mathrm{m^3}.
Se preferir em centímetros cúbicos: V\approx 510\\ \mathrm{cm^3}.

Passo 6

Achar o peso verdadeiro W e a massa m. Já podemos obter os empuxos individuais: da equação 0,2 B_{\text{água}}=1á (porque B_{\text{água}}-B_{\text{óleo}}=0,2 B_{\text{água}}áóá) segue
B_{\text{água}}=5\\ \mathrm{N},\qquad B_{\text{óleo}}=4\\ \mathrm{N}.áó
Usando o peso aparente em água 4 = W - B_{\text{água}}á, temos
W = 4 + 5 = 9\\ \mathrm{N}.
A massa do objeto é
m=\frac{W}{g}=\frac{9}{9,8}\\ \mathrm{kg}\approx 0,918\\ \mathrm{kg}.

Passo 7

Calcular a massa específica (densidade) do objeto \rho:
\rho=\frac{m}{V}.
Substituindo os valores numéricos já obtidos:
\rho \approx \frac{0,918367\\ \mathrm{kg}}{0,000510204\\ \mathrm{m^3}}\approx 1800\\ \mathrm{kg/m^3}.
Observação interessante (chega sem calcular): fazendo álgebra simbólica nota-se que \rho = \dfrac{W}{gV} = \dfrac{9}{g}\cdot \dfrac{1}{V} e, usando V=\dfrac{1}{0,2\rho_{\text{água}} g}á, obtém-se \rho = 1{,}8\,\rho_{\text{água}} = 1{,}8\times 1000 = 1800\\ \mathrm{kg/m^3}á. Ou seja, o objeto tem gravidade específica 1{,}8 (é 1,8 vezes mais denso que a água).

Resposta

V = 5{,}10\times 10^{-4}\\ \mathrm{m^3}
\rho = 1800\\ \mathrm{kg/m^3}

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