Questão 3. Um avião pesando 250 kN tem envergadura de 34 m e voa a 40 \mathrm{~m} / \mathrm{s} com o estabilizador horizontal nivelado com a asa a uma distância de 6,1 \mathrm{~m} do solo. Estime a alteração no ângulo de ataque induzido sobre o estabilizador devido ao efeito solo. O estabilizador está 18,3m a jusante do centro de pressão da asa.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede.
Dados que peguei do enunciado:
Peso (sustentação em voo nivelado): L=250\\ \text{kN}=250\,000\\ \text{N}.
Envergadura: b=34\\ \text{m}.
Velocidade de voo: V=40\\ \text{m/s}.
Altura do estabilizador (e da asa) sobre o solo: h=6{,}1\\ \text{m}.
Distância longitudinal do estabilizador ao centro de pressão da asa (a jusante): x=18{,}3\\ \text{m}.
O enunciado pede: estimar a alteração no ângulo de ataque induzido sobre o estabilizador devido ao efeito solo (ou seja, quanto o efeito do solo muda o downwash produzido pela asa no local do estabilizador, expresso como variação de ângulo).
Passo 2
Ideia física e modelo que vou usar (sem pular etapas).
A asa produz um campo de velocidade vertical (downwash) atrás dela que reduz o ângulo de ataque efetivo do estabilizador. O efeito solo modifica esse downwash (por interação com a parede sólida), normalmente reduzindo o downwash próximo ao solo.
Vou modelar, de forma simples e didática, o sistema de vórtices de ponta da asa como duas linhas de vórtice semiestendidas (trailing vortices) que começam na asa (em x=0) e seguem para x\to +\infty. Essa é uma aproximação padrão para obter uma estimativa do downwash no eixo longitudinal atrás da asa.
Para representar o efeito do solo, aplico o método das imagens: o plano do solo é representado por vortices imagem simétricos em relação ao plano z=0. Esses vortices imagem têm sinal apropriado para satisfazer a condição de impermeabilidade do solo; o efeito prático é que as contribuições dos vórtices imagem reduzem o downwash provocado pelos vórtices reais.
Para obter um número, preciso de densidade do ar; uso a densidade ao nível do mar: \rho=1{,}225\\ \text{kg/m}^3. (Se estiver em outra condição, o resultado muda pouco em ordem de grandeza.)
Passo 3
Estimativa da circulação associada aos vórtices de ponta.
A circulação média por unidade de semienvergadura que vou usar resulta da aproximação simples de circulação uniforme ao longo da asa: a integração da circulação por toda a envergadura dá a força de sustentação.
Pela teoria de Kutta–Joukowski, a força total é L=\rho V \displaystyle\int_{-b/2}^{b/2}\Gamma(y)\,dy. Se eu aproximar \Gamma(y) por um valor médio \Gamma_{\text{m}}, entãoL \approx \rho V \Gamma_{\text{m}} b \quad\Rightarrow\quad \Gamma_{\text{m}}\approx\frac{L}{\rho V b}.
Vou usar \Gamma para denotar esse valor médio aproximado de circulação associado à formação do wake (é uma aproximação forte, mas adequada para estimativa de ordem de grandeza).
Passo 4
Derivação (passo a passo) da velocidade vertical induzida por uma vórtice semiestendida e soma das duas pontas (livre-ar).
Considere um filamentó de vorticidade (vórtice) de intensidade \Gamma alinhado com o eixo x (a partir de x=0 até +\infty), localizado na posição (x',y_0,z_0) com y_0 fixo e z_0 fixo. Queremos a velocidade vertical (componente w no eixo z) no ponto P de coordenadas (x_p,0,z_p).
Aplicando a lei de Biot–Savart e integrando o elemento ao longo do filamento, obtém‑se (a conta integral é padrão; aqui mostro o resultado e a forma final):w_{\text{fil}}(x_p; y_0,z_0)= -\frac{\Gamma\,y_0}{4\pi\big(y_0^2+(z_p-z_0)^2\big)}\left(1+\frac{x_p}{\sqrt{x_p^2+y_0^2+(z_p-z_0)^2}}\right).(A derivação integra \displaystyle\int_0^\infty \frac{dx'}{\big((x_p-x')^2+y_0^2+(z_p-z_0)^2\big)^{3/2}} e usa a forma conhecida do primitivo.)
Para a nossa situação livre-ar:
os dois vórtices de ponta estão em z_0=h e em y_0=\pm b/2;
as circulações dos vórtices de ponta são opostas (uma asa gera um par de vórtices contra-rotantes), então se eu chamar de +\Gamma o de y=-b/2 e de -\Gamma o de y=+b/2, ao somar as contribuições dos dois vórtices o resultado no eixo y=0 simplifica.
Somando as duas contribuições (livre-ar, sem solo) dá a velocidade vertical no eixo central:w_{\text{livre}}=\frac{\Gamma}{\pi b}\left(1+\frac{x}{\sqrt{x^2+(b/2)^2}}\right),onde usei x_p=x (posição longitudinal do estabilizador em relação à asa) e b/2 para a meia-envergadura. (Mostrei a forma reduzida obtida ao somar as duas contribuições com os sinais das circulações.)
Passo 5
Inclusão do efeito do solo por imagens e expressão final para a velocidade vertical com solo.
Pelo método das imagens, cada vórtice real em z_0=+h tem um vórtice imagem em z_0=-h. A escolha do sinal da imagem é tal que, na prática, a contribuição da imagem reduz o downwash no ponto z_p=h. Para o nosso cálculo prático (estimativa), isso aparece como uma contribuição com sinal oposto.
Calculando a soma das quatro contribuições (duas vórtices reais + duas imagens), a expressão se simplifica de forma agradável: os termos constantes (1) se cancelam entre real e imagem, restandow_{\text{solo}}=\frac{\Gamma\,x}{\pi b}\left(\frac{1}{\sqrt{x^2+(b/2)^2}}-\frac{1}{\sqrt{x^2+(b/2)^2+(2h)^2}}\right).(Aqui a segunda raiz aparece porque a distância vertical entre ponto P em z=h e a imagem em z=-h é 2h, então somam‑se quadrados.)
A variação do downwash devido ao solo é então\Delta w \equiv w_{\text{solo}}-w_{\text{livre}}.Mas, visto que w_{\text{livre}}=\dfrac{\Gamma}{\pi b}\big(1+\dfrac{x}{\sqrt{x^2+(b/2)^2}}\big) e w_{\text{solo}}=\dfrac{\Gamma x}{\pi b}\big(\dfrac{1}{\sqrt{x^2+(b/2)^2}}-\dfrac{1}{\sqrt{x^2+(b/2)^2+(2h)^2}}\big), uma forma útil para a diferença é\Delta w = -\frac{\Gamma}{\pi b}\left(1+\frac{x}{\sqrt{x^2+(b/2)^2+(2h)^2}}\right) \;+\; \underbrace{\frac{\Gamma}{\pi b}\left(1+\frac{x}{\sqrt{x^2+(b/2)^2}}\right)}_{w_{\text{livre}}},que, reorganizando, dá a interpretação: o solo praticamente cancela grande parte do termo constante e do termo com a raiz aumentada.
O que realmente interessa é a variação do ângulo de ataque induzido no estabilizador: a velocidade vertical produz uma alteração de ângulo \alpha aproximadamente \alpha\approx w/V (para ângulos pequenos), logo\Delta\alpha \approx \frac{\Delta w}{V} = \frac{w_{\text{solo}}-w_{\text{livre}}}{V}.
Passo 6
Cálculo numérico passo a passo com os valores dados.
Primeiro calculemos \Gamma pela aproximação de circulação média:\Gamma \approx \frac{L}{\rho V b}substituindo L=250\,000\\ \text{N}, \rho=1{,}225\\ \text{kg/m}^3, V=40\\ \text{m/s}, b=34\\ \text{m}:\Gamma \approx \frac{250\,000}{1{,}225\cdot 40\cdot 34} =\frac{250\,000}{1{,}666} \approx 150{,}06\\ \text{m}^2/\text{s}.
Calcule as distâncias usadas nas raízes:R_1=\sqrt{x^2+(b/2)^2}=\sqrt{18{,}3^2+17^2}=\sqrt{334{,}89+289}= \sqrt{623{,}89}\approx 24{,}98\\ \text{m},
Calcule w_{\text{solo}} pela expressão com as imagens:w_{\text{solo}}=\frac{\Gamma x}{\pi b}\left(\frac{1}{R_1}-\frac{1}{R_2}\right).Avaliando numericamente:\frac{1}{R_1}-\frac{1}{R_2}\approx \frac{1}{24{,}98}-\frac{1}{27{,}79}=0{,}04002-0{,}03599=0{,}0040227,
(Note que este w_{\text{solo}} é muito menor que w_{\text{livre}}: o solo praticamente cancela a maior parte do downwash.)
A variação da velocidade vertical é\Delta w = w_{\text{solo}}-w_{\text{livre}}\approx 0{,}1035-2{,}4345\approx -2{,}3310\\ \text{m/s}.O sinal negativo indica que o downwash (velocidade vertical para baixo) diminuiu: o efeito do solo reduz o downwash sentido pelo estabilizador.
Finalmente, a variação de ângulo de ataque induzido é (ângulos pequenos: \alpha\approx w/V)\Delta\alpha \approx \frac{\Delta w}{V}\approx \frac{-2{,}3310}{40}\approx -0{,}05828\\ \text{rad}.Em graus:\Delta\alpha \approx -0{,}05828\cdot\frac{180}{\pi}\approx -3{,}34^\circ.
Passo 7
Interpretação e conclusão didática (para usar na prova).
O resultado \Delta\alpha\approx -0{,}0583\\ \text{rad}\approx -3{,}34^\circ significa que o ângulo de downwash induzido pelo sistema de asas no local do estabilizador fica cerca de 3{,}34^\circ menor (em magnitude) por causa do efeito solo.
Em termos práticos de estabilidade e comando: como o downwash no estabilizador é reduzido, o estabilizador “vê” um fluxo menos inclinado para baixo, ou seja, o ângulo de ataque efetivo do estabilizador aumenta de aproximadamente 3{,}34^\circ quando o avião se aproxima do solo (isso é importante para calcular trimmagem e características em aproximação/pouso).
Observações sobre a estimativa:
Fiz várias aproximações deliberadas (circulação média uniforme \Gamma, modelagem dos vórtices como linhas semiestendidas, uso de \rho=1{,}225\\ \text{kg/m}^3). O resultado é uma estimativa de ordem de grandeza e ilustra o efeito: redução significativa do downwash por causa do solo.
Métodos mais precisos (lifting‑line numérico, aerofólios reais, distribuição de circulação não uniforme) forneceriam refinamento, mas o valor calculado (\sim 3{,}3^\circ) é um número útil para análise rápida em prova.