Supondo que no instante inicial o elétron encontra-se no estado fundamental, determine a evolução da função de onda do sistema.

Passo 1

O enunciado pede a evolução temporal da função de onda de um elétron cuja condição inicial, em t=0, é o estado fundamental do Hamiltoniano do sistema. O conteúdo necessário é a solução da equação de Schrödinger dependente do tempo para autovalores e autovetores de energia.

Passo 2

Em geral, se \{\phi_n(\mathbf r)\} são os autovetores do Hamiltoniano com energias \{E_n\}, a solução da equação de Schrödinger dependente do tempo é
\psi(\mathbf r,t) \;=\;\sum_{n} c_n\,\phi_n(\mathbf r)\,\exp\!\biggl(-\tfrac{i\,E_n\,t}{\hbar}\biggr),
onde os coeficientes c_n vêm da condição inicial \psi(\mathbf r,0)=\sum_n c_n\phi_n(\mathbf r).

Passo 3

Como em t=0 o elétron está exatamente no estado fundamental \phi_1(\mathbf r), temos c_1=1 e c_{n\neq1}=0. Logo só sobrevive o termo n=1.

Resposta

\psi(\mathbf r,t) =\phi_1(\mathbf r)\,\exp\!\biggl(-\tfrac{i\,E_1\,t}{\hbar}\biggr).

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