Uma linha infinita com corrente de 16 \pi \mathrm{~A} na direção +\mathbf{a}_{x} está situada ao longo do eixo x. Determine o campo magnético \mathbf{H} no ponto ( 0,1 \mathrm{~m}, 0 ) utilizando a Lei de Ampère e a Lei de Biot-Savart.

Passo 1

O enunciado descreve uma corrente constante I=16\pi A distribuída ao longo de uma linha infinita no eixo x, no sentido +\mathbf{a}_x. Queremos o campo magnético \mathbf{H} no ponto (0,1,0). O conteúdo usado será magnetostática, em particular a Lei de Ampère para simetria cilíndrica e a Lei de Biot-Savart para corrente infinita.

Passo 2

Aplicando a Lei de Ampère em um caminho circular de raio \rho=1 m em torno do eixo x, temos
\oint \mathbf{H}\cdot d\boldsymbol{\ell} = I_{\rm enc}
Como \mathbf{H} é tangencial e de módulo constante nesse círculo, e I_{\rm enc}=I, obtemos
H\,(2\pi\rho)=I
H = \frac{I}{2\pi\rho}
Substituindo I=16\pi e \rho=1
H = \frac{16\pi}{2\pi\cdot1}=8\quad(\text{A/m})
A direção de \mathbf{H} segue a regra da mão direita em torno do eixo x. No ponto (0,1,0) isso é \mathbf{a}_z. Logo
\mathbf{H}=8\,\mathbf{a}_z\quad(\text{A/m}).

Passo 3

Usando a Lei de Biot-Savart em forma para \mathbf{H},
\mathbf{H}(\mathbf{r}) = \frac{I}{4\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\frac{d\boldsymbol{\ell}'\times\hat{\mathbf{R}}}{R^2},
onde d\boldsymbol{\ell}'=dx\,\mathbf{a}_x ao longo do eixo x e \mathbf{R}=\mathbf{r}-\mathbf{r}'=(-x)\mathbf{a}_x+1\,\mathbf{a}_y. Fazendo o produto vetorial e integrando em x\in(-\infty,\infty) encontra-se novamente
\mathbf{H} = \frac{I}{2\pi\rho}\,\mathbf{a}_\varphi
e para \rho=1 no ponto dado, \mathbf{a}_\varphi=\mathbf{a}_z e H=8 A/m.

Resposta

\displaystyle \mathbf{H}(0,1,0)=8\,\mathbf{a}_z\\ \textrm{A/m}

Exercícios relacionados