Supondo que:
\lim _{x \rightarrow a} f(x)=-3 \quad \lim _{x \rightarrow a} g(x)=0 \quad \lim _{x \rightarrow a} h(x)=8
Aplique as propriedades aos limites abaixo:
(h) \lim _{x \rightarrow a} \frac{2 f(x)}{h(x)-f(x)}

Passo 1

O enunciado dá \displaystyle \lim_{x\to a}f(x)=-3, \displaystyle \lim_{x\to a}g(x)=0 e \displaystyle \lim_{x\to a}h(x)=8,
e pede \displaystyle \lim_{x\to a}\frac{2f(x)}{h(x)-f(x)}.
O conteúdo aqui é aplicar as propriedades de limite de constante vezes função, soma e quociente.

Passo 2

Calcular o limite do numerador usando a propriedade de fator constante:
\lim_{x\to a}2f(x) =2\lim_{x\to a}f(x) =2\cdot(-3) =-6.

Passo 3

Calcular o limite do denominador usando a propriedade de soma (diferença):
\lim_{x\to a}\bigl(h(x)-f(x)\bigr) =\lim_{x\to a}h(x)-\lim_{x\to a}f(x) =8-(-3) =11.

Passo 4

Como o limite do denominador é 11\neq0, vale a propriedade do quociente:
\lim_{x\to a}\frac{2f(x)}{h(x)-f(x)} =\frac{\lim_{x\to a}2f(x)}{\lim_{x\to a}(h(x)-f(x))} =\frac{-6}{11}.

Resposta

-\frac{6}{11}

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