Prove diretamente da definição de limite que:
b) A sequência \frac{1}{n^{2}+1} tende para zero.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a sequência
a_n = \frac{1}{n^{2}+1}
converge para 0. O conteúdo aqui é prova de convergência de sequência usando a definição \epsilon–N, que diz:
“Para todo \epsilon>0 existe N\in\mathbb{N} tal que, se n\ge N, então \bigl|a_n - L\bigr|<\epsilon.”
No nosso caso, L=0 e a_n=1/(n^2+1).

Passo 2

Começamos fixando um \epsilon>0 qualquer e buscamos N tal que, para todo n\ge N,
\Bigl|\frac{1}{n^2+1}-0\Bigr|<\epsilon.
Note que, para n\ge1, vale
n^2+1\ge n^2 \quad\Longrightarrow\quad 0\le \frac{1}{n^2+1}\le \frac{1}{n^2}.
Portanto basta garantir
\frac{1}{n^2}<\epsilon,
isto é,
n^2>\frac{1}{\epsilon} \quad\Longrightarrow\quad n>\frac{1}{\sqrt{\epsilon}}.

Passo 3

Escolhemos
N=\Bigl\lceil \tfrac{1}{\sqrt{\epsilon}}\Bigr\rceil,
que é um número natural e satisfaz N\ge1/\sqrt{\epsilon}. Então, sempre que n\ge N, temos n\ge1/\sqrt{\epsilon} e assim
0\le \frac{1}{n^2+1}\le \frac{1}{n^2}\le \frac{1}{N^2}\le \epsilon.
Logo \bigl|a_n-0\bigr|<\epsilon para todo n\ge N, o que completa a prova.

Resposta

\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n^2+1}=0.

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