Supondo números binários de 8 bits com sinal, converta os seguintes números para binário:
-125_{10}

Passo 1

O enunciado pede: converter o número decimal -125_{10} para a representação binária em 8 bits com sinal. Informações relevantes dadas:
  • O número a converter é -125_{10}.
  • A representação deve usar exatamente 8 bits (um byte) e comportar sinal.
  • Não foi especificado o método de representação (existem várias: sinal-magnitude, complemento de 1, complemento de 2). Vou escolher o método mais usado em provas e na prática (complemento de 2) — detalhes e justificativa nas próximas etapas.

Passo 2

Por que usar complemento de 2 (dois) e não as outras formas?
  • Quando o enunciado apenas diz “8 bits com sinal” sem especificar, o método padrão é o complemento de 2, porque é o formato usado por processadores e é o que normalmente se espera em exercícios.
  • Rápido resumo das alternativas (só para entender): sinal-magnitude guarda o sinal em um bit e a magnitude nos outros; complemento de 1 inverte bits da magnitude; complemento de 2 inverte e soma 1. O complemento de 2 evita dois zeros e facilita operações aritméticas.
    Decidido: usaremos o complemento de 2 de 8 bits.

Passo 3

Verificar se -125 cabe em 8 bits no sistema complemento de 2.
  • A faixa representável em complemento de 2 com 8 bits é
-2^{7}\\ \text{até}\\\ 2^{7}-1,é
ou seja
-128 \text{ até } 127.é
  • Como -125 está entre -128 e 127, ele é representável em 8 bits. Podemos prosseguir.

Passo 4

Converter a magnitude 125_{10} para binário positivo.
Vamos decompor 125 nas potências de dois (pesos): 64,\,32,\,16,\,8,\,4,\,2,\,1.
  • 125 - 64 = 61 → então o bit de 2^{6}=64 é 1.
  • 61 - 32 = 29 → bit de 2^{5}=32 é 1.
  • 29 - 16 = 13 → bit de 2^{4}=16 é 1.
  • 13 - 8 = 5 → bit de 2^{3}=8 é 1.
  • 5 - 4 = 1 → bit de 2^{2}=4 é 1.
  • 1 - 2 < 0 → bit de 2^{1}=2 é 0.
  • 1 - 1 = 0 → bit de 2^{0}=1 é 1.
Portanto os bits (do mais significativo ao menos) para 125 são
1111101_{2}.

Passo 5

Colocar em 8 bits (preenchendo com zero à esquerda para o caso positivo):
125_{10} = 01111101_{2}.
Note que o bit mais significativo (à esquerda) é 0, indicando número positivo numa representação com sinal.

Passo 6

Obter o negativo em complemento de 2: procedimento é inverter todos os bits e somar 1.
Primeiro inverter os bits de 01111101_{2}:
\text{inverso}(01111101_{2}) = 10000010_{2}.

Passo 7

Somar 1 ao resultado invertido:
10000010_{2} + 00000001_{2} = 10000011_{2}.
Mostrando a soma bit a bit (da direita para a esquerda):
  • 0+1=1 (sem carry),
  • os demais bits baixos mantêm-se conforme a soma, resultando em 10000011_{2}.

Passo 8

Verificar que a representação está correta calculando o valor que 10000011_{2} representa em complemento de 2 (checar para ter segurança):
Em complemento de 2 de 8 bits, o peso do bit mais significativo é -2^{7}=-128 e os demais são positivos:
10000011_{2} = -128 + 0\cdot64 + 0\cdot32 + 0\cdot16 + 0\cdot8 + 0\cdot4 + 1\cdot2 + 1\cdot1 = -128 + 2 + 1 = -125.
Confere perfeitamente.

Passo 9

Conclusão: a representação em 8 bits com sinal (complemento de 2) de -125_{10} é 10000011_{2}.

Resposta

-125_{10} = 10000011_{2}

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