Supondo números binários sem sinal:
Com 4 bits
  • Quantos valores diferentes podem ser representados?
  • Que faixa de valores pode ser representada?

Passo 1

O enunciado dá uma situação e pede duas coisas. Informações dadas:
  • São números binários sem sinal (ou seja, somente valores não-negativos).
  • Cada número usa exatamente 4 bits (cada bit é 0 ou 1).
As perguntas do enunciado:
  1. Quantos valores diferentes podem ser representados com 4 bits sem sinal?
  2. Qual a faixa de valores (menor e maior) que pode ser representada com esses 4 bits?

Passo 2

Entendendo como funciona a representação binária posição a posição (fundamento necessário).
  • Em binário cada posição (bit) tem um “peso” igual a uma potência de 2.
  • Se numerarmos as posições dos bits de 0 (menos significativo) até 3 (mais significativo), então o valor decimal V de um número binário de 4 bits b_3 b_2 b_1 b_0 é dado por:
V = b_3 2^3 + b_2 2^2 + b_1 2^1 + b_0 2^0,
onde cada b_i é 0 ou 1.
  • Exemplo rápido: o binário 1101 tem b_3=1,\\ b_2=1,\\ b_1=0,\\ b_0=1 e vale
V = 1\cdot2^3 + 1\cdot2^2 + 0\cdot2^1 + 1\cdot2^0 = 8 + 4 + 0 + 1 = 13.
Isso mostra como converter qualquer sequência de 4 bits em decimal passo a passo.

Passo 3

Contagem do número de combinações possíveis (resposta à pergunta 1).
  • Cada um dos 4 bits pode assumir 2 valores independentes ( 0 ou 1).
  • Então o número total de combinações possíveis é
2 \times 2 \times 2 \times 2 = 2^4.
  • Calculando:
2^4 = 16.
Portanto existem 16 valores diferentes representáveis com 4 bits sem sinal.

Passo 4

Encontrando o menor valor representável (início da faixa).
  • O menor valor ocorre quando todos os bits são 0: 0000.
  • Usando a fórmula do Passo 2:
V_{\min} = 0\cdot2^3 + 0\cdot2^2 + 0\cdot2^1 + 0\cdot2^0 = 0.
Logo o menor valor é 0.

Passo 5

Encontrando o maior valor representável (fim da faixa).
  • O maior valor ocorre quando todos os bits são 1: 1111.
  • Calculando:
V_{\max} = 1\cdot2^3 + 1\cdot2^2 + 1\cdot2^1 + 1\cdot2^0 = 2^3 + 2^2 + 2^1 + 2^0.
  • A soma de potências de 2 consecutivas dá a identidade (soma de uma progressão geométrica):
2^3 + 2^2 + 2^1 + 2^0 = \sum_{k=0}^{3} 2^k = 2^4 - 1.
  • Portanto
V_{\max} = 2^4 - 1 = 16 - 1 = 15.

Passo 6

Resumo prático com exemplos (para fixar e aprender a fazer rápido na prova).
  • Quantidade de valores: 2^4 = 16.
  • Faixa: de 0 (binário 0000) até 15 (binário 1111).
  • Exemplos de conversão rápida:
    • 0001 \to 1.
    • 0010 \to 2.
    • 0100 \to 4.
    • 1010 \to 1\cdot2^3 + 0\cdot2^2 + 1\cdot2^1 + 0\cdot2^0 = 8 + 0 + 2 + 0 = 10.
    • 1111 \to 15.

Resposta

16
Faixa: 0 a 15

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