Supondo números binários com sinal:
Com 4 bits
- Quantos valores diferentes podem ser representados?
- Que faixa de valores pode ser representada?
Com 4 bits
Passo 1
O enunciado pede duas coisas, usando números binários com sinal e um total de 4 bits:
- Quantos valores diferentes podem ser representados?
- Qual é a faixa (menor e maior valor) que pode ser representada?
Informações dadas:
- Número de bits:
. - Os números são binários com sinal (não foi especificado o formato — ver passo seguinte).
Passo 2
Escolha do método de representação e por quê.
Há vários esquemas para representar sinais em binário: representação em complemento de dois, complemento de um e sinal-magnitude (bit de sinal + magnitude). Como a questão não especificou, eu vou usar a representação em complemento de dois porque:
Há vários esquemas para representar sinais em binário: representação em complemento de dois, complemento de um e sinal-magnitude (bit de sinal + magnitude). Como a questão não especificou, eu vou usar a representação em complemento de dois porque:
- É o padrão mais usado em computadores.
- Não tem dois zeros distintos (apenas um código para zero).
- As fórmulas para o número de valores e a faixa são simples e típicas em provas.
Vou explicar também, no final, brevemente como seriam as faixas em outros esquemas para você não ser pego de surpresa.
Passo 3
Quantos valores diferentes existem em
bits (regra geral).
Qualquer sistema de representação com exatamente bits tem exatamente
Qualquer sistema de representação com exatamente
combinações diferentes de bits (cada bit tem 2 possibilidades: 0 ou 1, e são
bits independentes). Aqui
significa o número total de bits disponíveis.
Aplicando com
:
Portanto, com 4 bits há
valores distintos possíveis.
Passo 4
Fórmula da faixa em complemento de dois (explicação didática).
Em complemento de dois, com bits o bit mais significativo (MSB) tem peso negativo quando vale 1; os demais bits têm pesos positivos normais. A faixa é dada por
Em complemento de dois, com
Explicando por que: o MSB vale
quando for 1 (por isso os negativos chegam até esse valor), e os
bits restantes, quando todos 1, somam
, que é o maior valor positivo.
Passo 5
Aplicando a fórmula para
.
Calculemos com
:
Calculemos
Portanto, a faixa é
Ou seja, em complemento de dois com 4 bits os valores vão de
até
.
Passo 6
Exemplos concretos de códigos (para você treinar na prova).
-
representa . -
representa (MSB , valor positivo normal). -
representa . (MSB ; regra rápida: complemento de dois de dá → magnitude → valor .) -
representa . (Para ver: inverter , somar → magnitude → valor .)
Dica prática para a prova: se o MSB for
, leia como número positivo normal; se MSB for
, para achar o valor negativo faça inverter os bits e somar
para obter a magnitude, ou use a ideia de peso negativo do MSB.
Passo 7
Breve nota sobre outros esquemas (pra evitar pegadinhas):
- Sinal-magnitude (bit de sinal + magnitude): faixa seria de
até , mas tem dois códigos para zero ( e ). - Complemento de um: faixa também de
até , também com dois zeros.
Por isso complemento de dois é preferido e frequentemente assumido se não declarado.
Resposta
Faixa: