Supondo que o percurso de um objeto no espaço é descrito pela função vetorial
r(t)=(t^3-8t^2-4, cos pitt-2, 2 t)
Determine os intervalos de tempo em que é possivel calcular a posição exata do objeto.

Passo 1

Vamos resolver um exercício de cálculo envolvendo funções vetoriais. O problema nos dá uma função vetorial que descreve o movimento de um objeto no espaço e pede para determinar os intervalos de tempo em que podemos calcular a posição exata desse objeto. Para resolver, vamos precisar entender sobre domínios de funções, ou seja, os valores de t para os quais cada componente da função está definida.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para cada componente da função vetorial separadamente para identificar onde elas podem não estar definidas. A função vetorial dada é:
r(t) = ( t^3 - 8t^2 - 4, cos pitt - 2, 2t )

Passo 3

Vamos analisar a primeira componente: t^3 - 8t^2 - 4 . Essa fração estará indefinida quando o denominador for zero. Então, resolvemos t^2 - 4 = 0 :
t^2 - 4 = 0 implies t^2 = 4 implies t = pm 2
Portanto, essa componente não está definida para t = 2 e t = -2 .

Passo 4

Agora, a segunda componente: cos pitt - 2 . Novamente, o denominador não pode ser zero, então resolvemos t - 2 = 0 :
t - 2 = 0 implies t = 2
Além disso, na expressão cos pit , o denominador de pit também não pode ser zero, ou seja, t neq 0 .

Passo 5

A terceira componente é 2t , que é uma função polinomial e está definida para todos os valores de t .

Passo 6

Resumindo as restrições:
  • t neq 2 e t neq -2 pela primeira componente.
  • t neq 2 e t neq 0 pela segunda componente.

Passo 7

Juntando todas as restrições, os valores de t onde a função não está definida são t = -2 , t = 0 e t = 2 .

Passo 8

Portanto, para calcular a posição exata do objeto, devemos excluir esses valores e considerar todos os demais números reais.

Resposta

Os intervalos de tempo em que é possível calcular a posição exata do objeto são:
t in (-infty, -2) cup (-2, 0) cup (0, 2) cup (2, +infty)

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