Supondo que
e
sejam matrizes de ordem
tais que
, quanto
?
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos três matrizes
,
e
, todas de ordem
. A equação dada é:
Além disso, sabemos que:
O que precisamos encontrar é
. Para resolver isso, vamos usar propriedades de determinantes e manipular a equação para isolar
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar de uma propriedade importante dos determinantes: para qualquer matriz invertível
, temos:
Também sabemos que o determinante de um produto de matrizes é o produto dos determinantes:
E o determinante de uma matriz transposta é igual ao determinante da matriz original:
Além disso, o determinante de uma matriz elevada a uma potência é o determinante da matriz elevada à mesma potência:
Vamos aplicar essas propriedades na nossa equação.
Passo 3
Vamos calcular o determinante de ambos os lados da equação:
Primeiro, o lado esquerdo:
Porque, para uma matriz
, multiplicar por escalar
multiplica o determinante por
.
Passo 4
Agora, o lado direito:
Lembrando que
e
.
Passo 5
Agora, igualamos os dois lados:
Podemos simplificar ambos os lados dividindo
(que é diferente de zero) e
(também diferente de zero) de ambos os lados:
Passo 6
Isolando
:
Sabemos que
, então substituímos:
Resposta
O determinante de
deve ser igual a 9.