(2 , 0) Supondo que A, B e C sejam matrizes de ordem 2 times 2 tais que 2 cdot A cdot B^top=raiz3 cdot A^2 cdot B cdot C^-1, det(A)=12 e det(B)=2024, quanto deve ser det(C) ?

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos três matrizes A , B e C , todas de ordem 2 times 2 . A equação dada é:
2 cdot A cdot B^top = raiz3 cdot A^2 cdot B cdot C^-1
Além disso, sabemos que:
det(A) = 12 e det(B) = 2024
O que precisamos encontrar é det(C) . Para resolver isso, vamos usar propriedades de determinantes e manipular a equação para isolar det(C) .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar de uma propriedade importante dos determinantes: para qualquer matriz invertível M , temos:
det(M^-1) = 1det(M)
Também sabemos que o determinante de um produto de matrizes é o produto dos determinantes:
det(M cdot N) = det(M) cdot det(N)
E o determinante de uma matriz transposta é igual ao determinante da matriz original:
det(B^top) = det(B)
Além disso, o determinante de uma matriz elevada a uma potência é o determinante da matriz elevada à mesma potência:
det(A^k) = (det(A))^k
Vamos aplicar essas propriedades na nossa equação.

Passo 3

Vamos calcular o determinante de ambos os lados da equação:
det(2 cdot A cdot B^top) = det(raiz3 cdot A^2 cdot B cdot C^-1)
Primeiro, o lado esquerdo:
det(2 cdot A cdot B^top) = 2^2 cdot det(A) cdot det(B^top) = 4 cdot det(A) cdot det(B)
Porque, para uma matriz 2 times 2 , multiplicar por escalar k multiplica o determinante por k^2 .

Passo 4

Agora, o lado direito:
det(raiz3 cdot A^2 cdot B cdot C^-1) = (raiz3)^2 cdot det(A^2) cdot det(B) cdot det(C^-1) = 3 cdot (det(A))^2 cdot det(B) cdot 1det(C)
Lembrando que (raiz3)^2 = 3 e det(A^2) = (det(A))^2 .

Passo 5

Agora, igualamos os dois lados:
4 cdot det(A) cdot det(B) = 3 cdot (det(A))^2 cdot det(B) cdot 1det(C)
Podemos simplificar ambos os lados dividindo det(B) (que é diferente de zero) e det(A) (também diferente de zero) de ambos os lados:
4 = 3 cdot det(A) cdot 1det(C)

Passo 6

Isolando det(C) :
4 = 3 cdot det(A)det(C) Rightarrow det(C) = 3 cdot det(A)4
Sabemos que det(A) = 12 , então substituímos:
det(C) = 3 cdot 124 = 364 = 9

Resposta

O determinante de C deve ser igual a 9.

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